凸最佳化 - 錐

如果$\mathbb{R}^n$中的一個非空集合C滿足：$x \in C \Rightarrow \lambda x \in C, \forall \lambda \geq 0$，則稱C是以0為頂點的錐。

如果集合C既是凸集又是錐，則稱C為凸錐。

例如，$y=\left | x \right |$ 不是凸錐，因為它不是凸集。

但是，$y \geq \left | x \right |$ 是凸錐，因為它既是凸集又是錐。

注意 - 錐C是凸集當且僅當對於任意$x,y \in C$, $x+y \in C$。

證明

由於C是錐，對於$x,y \in C \Rightarrow \lambda x \in C$ 和 $\mu y \in C \:\forall \:\lambda, \mu \geq 0$

如果$\lambda x + \left ( 1-\lambda \right )y \in C \: \forall \:\lambda \in \left ( 0, 1 \right )$，則C是凸集

由於C是錐，$\lambda x \in C$ 和 $\left ( 1-\lambda \right )y \in C \Leftrightarrow x,y \in C$

因此，如果$x+y \in C$，則C是凸集

一般來說，如果$x_1,x_2 \in C$，則$\lambda_1x_1+\lambda_2x_2 \in C, \forall \lambda_1,\lambda_2 \geq 0$

例子

• $\mathbb{R}^n$中無限多個向量的錐組合是一個凸錐。

• 任何空集都是凸錐。

• 任何線性函式都是凸錐。

• 由於超平面是線性的，它也是凸錐。

• 閉半空間也是凸錐。

注意 - 兩個凸錐的交集是一個凸錐，但它們的並集可能不是凸錐。