模擬通訊 - 信噪比計算
在本章中，讓我們計算各種調製波的信噪比和品質因數，這些波在接收機處被解調。
信噪比
信噪比 (SNR) 是訊號功率與噪聲功率之比。信噪比值越高，接收到的輸出質量就越高。
可以使用以下公式計算不同點的信噪比。
輸入信噪比 = $\left ( SNR \right )_I= \frac{調製訊號的平均功率}{輸入噪聲的平均功率}$
輸出信噪比 = $\left ( SNR \right )_O= \frac{解調訊號的平均功率}{輸出噪聲的平均功率}$
通道信噪比 = $\left ( SNR \right )_C= \frac{調製訊號的平均功率}{訊息頻寬內噪聲的平均功率}$
品質因數
輸出信噪比與輸入信噪比之比可以稱為品質因數。用F表示。它描述了裝置的效能。
$$F=\frac {\left ( SNR \right )_O}{\left ( SNR \right )_I}$$
接收機的品質因數為
$$F=\frac {\left ( SNR \right )_O}{\left ( SNR \right )_C}$$
這是因為對於接收機來說，通道是輸入。
AM 系統中的信噪比計算
考慮以下 AM 系統的接收機模型來分析噪聲。
我們知道調幅 (AM) 波為
$$s\left ( t \right )=A_c\left [ 1+k_am\left ( t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
$$\Rightarrow s\left ( t \right )=A_c \cos \left ( 2 \pi f_ct \right )+A_ck_am\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
AM 波的平均功率為
$$P_s=\left ( \frac{A_c}{\sqrt{2}} \right )^2+\left ( \frac{A_ck_am\left ( t \right )}{\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{c}}^{2}}{2}+\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$
$$\Rightarrow P_s=\frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+{k_{a}}^{2}P \right )}{2}$$
訊息頻寬內噪聲的平均功率為
$$P_{nc}=WN_0$$
將這些值代入通道信噪比公式
$$\left ( SNR \right )_{C,AM}=\frac{AM 波的平均功率}{訊息頻寬內噪聲的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{C,AM}=\frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+ {k_{a}}^{2}\right )P}{2WN_0}$$
其中，
P 是訊息訊號的功率=$\frac{{A_{m}}^{2}}{2}$
W 是訊息頻寬
假設帶通噪聲與上述圖中所示的通道中的 AM 波混合。這種組合應用於 AM 解調器的輸入。因此，AM 解調器的輸入為。
$$v\left ( t \right )=s\left ( t \right )+n\left ( t \right )$$
$\Rightarrow v\left ( t \right )=A_c\left [ 1+k_am\left ( t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )+$
$\left [ n_1\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right ) - n_Q\left ( t \right ) \sin \left ( 2 \pi f_ct \right )\right ]$
$\Rightarrow v\left ( t \right )=\left [ A_c+A_ck_am\left ( t \right )+n_1\left ( t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right )$
其中 $n_I \left ( t \right )$ 和 $n_Q \left ( t \right )$ 是噪聲的同相和正交相位分量。
AM 解調器的輸出就是上述訊號的包絡。
$$d\left ( t \right )=\sqrt{\left [ A_c+A_cK_am\left ( t \right )+n_I\left ( t \right ) \right ]^2+\left ( n_Q\left ( t \right ) \right )^2}$$
$$\Rightarrow d\left ( t \right )\approx A_c+A_ck_am\left ( t \right )+n_1\left ( t \right )$$
解調訊號的平均功率為
$$P_m=\left ( \frac{A_ck_am\left ( t \right )}{\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$
輸出噪聲的平均功率為
$$P_no=WN_0$$
將這些值代入輸出信噪比公式。
$$\left ( SNR \right )_{O,AM}= \frac {解調訊號的平均功率 }{輸出噪聲的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{O,AM}=\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2WN_0}$$
將這些值代入 AM 接收機的品質因數公式。
$$F=\frac{\left ( SNR \right )_{O,AM}}{\left ( SNR \right )_{C,AM}}$$
$$\Rightarrow F=\left ( \frac{{A_{c}^{2}}{k_{a}^{2}}P}{2WN_0} \right )/\left ( \frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+ {k_{a}}^{2}\right )P}{2WN_0} \right )$$
$$\Rightarrow F=\frac{{K_{a}}^{2}P}{1+{K_{a}}^{2}P}$$
因此，AM 接收機的品質因數小於 1。
DSBSC 系統中的信噪比計算
考慮以下 DSBSC 系統的接收機模型來分析噪聲。
我們知道 DSBSC 調製波為
$$s\left ( t \right )=A_cm\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
DSBSC 調製波的平均功率為
$$P_s=\left ( \frac{A_cm\left ( t \right )}{\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2}$$
訊息頻寬內噪聲的平均功率為
$$P_{nc}=WN_0$$
將這些值代入通道信噪比公式。
$$\left ( SNR \right )_{C,DSBSC}=\frac{DSBSC 調製波的平均功率}{訊息頻寬內噪聲的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{C,DSBSC}=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$
假設帶通噪聲與上述圖中所示的通道中的 DSBSC 調製波混合。這種組合作為乘積調製器的一個輸入。因此，此乘積調製器的輸入為
$$v_1\left ( t \right )=s\left ( t \right )+n\left ( t \right )$$
$$\Rightarrow v_1\left ( t \right )=A_cm\left ( t \right ) \cos \left ( 2 \pi f_ct \right )+\left [ n_I\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right ) - n_Q\left ( t \right ) \sin \left ( 2 \pi f_ct \right )\right ]$$
$$\Rightarrow v_1\left ( t \right )=\left [ A_cm \left ( t \right ) +n_I\left ( t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
本振產生載波訊號 $c\left ( t \right )= \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )。此訊號作為乘積調製器的另一個輸入。因此，乘積調製器產生一個輸出，該輸出是 $v_1\left ( t \right )$ 和 $c\left ( t \right )$ 的乘積。
$$v_2\left ( t \right )= v_1\left ( t \right )c\left ( t \right )$$
將 $v_1\left ( t \right )$ 和 $c\left ( t \right )$ 的值代入上述等式。
$$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\left ( \left [ A_cm\left ( t \right ) + n_I\left ( t \right )\right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )- n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right ) \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
$$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\left [ A_c m\left ( t \right )+n_I\left ( t \right ) \right ] \cos^2\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
$$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\left [ A_c m\left ( t \right )+n_I\left ( t \right ) \right ] \left ( \frac{1+ \cos\left ( 4 \pi f_ct \right )}{2} \right ) -n_Q\left ( t \right )\frac{ \sin\left ( 4 \pi f_ct \right )}{2}$$
當上述訊號作為低通濾波器的輸入時，我們將得到低通濾波器的輸出為
$$d\left ( t \right )=\frac{\left [ A_c m\left ( t \right )+n_I\left ( t \right ) \right ]}{2}$$
解調訊號的平均功率為
$$P_m=\left ( \frac{A_cm\left ( t \right )}{2\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{c}}^{2}P}{8}$$
輸出噪聲的平均功率為
$$P_{no}=\frac{WN_0}{4}$$
將這些值代入輸出信噪比公式。
$$\left ( SNR \right )_{O,DSBSC}= \frac {解調訊號的平均功率 }{輸出噪聲的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{O,DSBSC}=\left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{8} \right )/ \left ( \frac{WN_0}{4} \right )=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$
將這些值代入 DSBSC 接收機的品質因數公式。
$$F=\frac{\left ( SNR \right )_{O,DSBSC}}{\left ( SNR \right )_{C,DSBSC}}$$
$$\Rightarrow F= \left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} \right )/ \left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} \right )$$
$$\Rightarrow F= 1$$
因此，DSBSC 接收機的品質因數為 1。
SSBSC 系統中的信噪比計算
考慮以下 SSBSC 系統的接收機模型來分析噪聲。
我們知道具有下邊帶的 SSBSC 調製波為
$$s\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{2} \cos \left [ 2 \pi\left ( f_c-f_m \right )t \right ]$$
SSBSC 調製波的平均功率為
$$P_s=\left ( \frac{A_mA_c}{2\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8}$$
訊息頻寬內噪聲的平均功率為
$$P_{nc}=WN_0$$
將這些值代入通道信噪比公式。
$$\left ( SNR \right )_{C,SSBSC}= \frac {SSBSC 調製波的平均功率}{訊息頻寬內噪聲的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{C,SSBSC}=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$
假設帶通噪聲與上述圖中所示的通道中的 SSBSC 調製波混合。這種組合作為乘積調製器的一個輸入。因此，此乘積調製器的輸入為
$$v_1\left ( t \right )=s\left ( t \right )+n\left ( t \right )$$
$$v_1\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left [ 2 \pi \left ( f_c-f_m \right )t \right ] + n_I\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin \left ( 2 \pi f_ct \right )$$
本振產生載波訊號 $c\left ( t \right )= \cos \left ( 2 \pi f_ct \right ) 。此訊號作為乘積調製器的另一個輸入。因此，乘積調製器產生一個輸出，該輸出是 $v_1\left ( t \right )$ 和 $c\left ( t \right )$ 的乘積。
$$v_2\left ( t \right )=v_1\left ( t \right )c \left ( t \right )$$
將 $v_1\left ( t \right )$ 和 $ c\left ( t \right )$ 的值代入上述等式。
$\Rightarrow v_2(t)= (\frac{A_mA_c}{2} \cos[ 2 \pi ( f_c-f_m )t ] + n_I ( t ) \cos ( 2 \pi f_ct )-$
$n_Q( t ) \sin ( 2 \pi f_ct ) )\cos ( 2 \pi f_ct )$
$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left [ 2 \pi \left ( f_c-f_m \right )t \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )+$
$n_I\left ( t \right ) \cos^2\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$
$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{4} \left \{ \cos\left [ 2 \pi\left ( 2f_c-f_m \right )t \right ] + \cos \left ( 2 \pi f_mt \right )\right \}+$
$n_I\left ( t \right )\left ( \frac{1+ \cos\left ( 4 \pi f_ct \right )}{2} \right )- n_Q\left ( t \right )\frac{\sin \left ( 4 \pi f_ct \right )}{2}$
當上述訊號作為低通濾波器的輸入時，我們將得到低通濾波器的輸出為
$$d\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left ( 2 \pi f_mt \right )+\frac{n_I\left ( t \right )}{2}$$
解調訊號的平均功率為
$$P_m=\left ( \frac{A_mA_c}{4\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32}$$
輸出噪聲的平均功率為
$$P_{no}=\frac{WN_0}{4}$$
將這些值代入**輸出信噪比**公式
$$\left ( SNR \right )_{O,SSBSC}= \frac {解調訊號的平均功率}{輸出噪聲的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{O,SSBSC}= \left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32} \right )/\left ( \frac{WN_0}{4} \right )=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$
將這些值代入**品質因數**的SSBSC接收機公式
$$F=\frac{\left ( SNR \right )_{O,SSBSC}}{\left ( SNR \right )_{C,SSBSC}}$$
$$F=\left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} \right )/\left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} \right )$$
$$F=1$$
因此，SSBSC接收機的品質因數為1。