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法律研究什麼是訊號與系統中的卷積？
什麼是卷積？
卷積 是一種將兩個訊號組合形成第三個訊號的數學工具。因此，在訊號與系統中，卷積非常重要，因為它將系統的輸入訊號和衝激響應聯絡起來，從而產生系統的輸出訊號。換句話說，卷積用於表示 LTI 系統的輸入和輸出關係。
解釋
考慮一個在 t = 0 時處於鬆弛狀態的連續時間 LTI 系統，即最初沒有輸入施加到它。現在，如果將衝激訊號 [δ(t)] 輸入到系統，則系統的輸出稱為系統的衝激響應 h(t)，表示為：
$$\mathrm{h(t)=T[\delta(t)]}$$
由於任何任意訊號 x(t) 可以表示為：
$$\mathrm{x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:\delta (t-\tau)d\tau}$$
那麼，對應於 x(t) 的系統輸出由下式給出：
$$\mathrm{y(t)=T[x(t)]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow y(t)=T\left [\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau) \:\delta (t-\tau )d\tau\right ]}$$
對於連續時間線性系統，輸出由下式給出：
$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:T\left [\delta( t-\tau )\right ]d\tau\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
現在，如果系統對沖激訊號 δ(t) 的響應是 h(t)，則線性系統對延遲衝激訊號的響應由下式給出：
$$\mathrm{h(t,\tau)=T[\delta(t-\tau)]}$$
將 $T[\delta(t-\tau)]$ 的值代入方程 (1)，得到：
$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:h(t,\tau)d\tau\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
同樣，對於一個時不變系統，對應於延遲 τ 個單位的輸入的輸出等於延遲 τ 個單位的輸出，即：
$$\mathrm{h(t,\tau)=h(t-\tau)}$$
將 $h(t,\tau)$ 的值代入方程 (2)，得到：
$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
方程 (3) 中的表示式稱為**卷積積分**或簡稱**卷積**。
因此，兩個連續時間訊號 x(t) 和 h(t) 的卷積表示為：
$$\mathrm{y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$
卷積積分中的積分極限取決於任意訊號 x(t) 和衝激響應 h(t) 是否因果。因此，
如果 x(t) 和 h(t) 均為非因果，則：
$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$
如果訊號 x(t) 為非因果且衝激響應 h(t) 為因果，則：
$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$
如果訊號 x(t) 為因果且 h(t) 為非因果，則：
$$\mathrm{y(t)=\int_{0}^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$
如果 x(t) 和 h(t) 均為因果，則：
$$\mathrm{y(t)=\int_{0}^{t}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$
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