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法學訊號與系統：能量訊號和功率訊號
能量訊號
當且僅當訊號的總能量E是有限的，即0 < 𝐸 < ∞時，該訊號被稱為能量訊號。對於能量訊號，平均功率P = 0。非週期訊號是能量訊號的例子。
功率訊號
當且僅當訊號的平均功率P是有限的，即0 < 𝑃 < ∞時，該訊號被稱為功率訊號。對於功率訊號，總能量E = ∞。週期訊號是功率訊號的例子。
連續時間情況
在電路中，訊號可能表示電流或電壓。考慮一個施加在電阻R上的電壓v(t)，i(t)是流過它的電流，如圖所示。（此處應插入圖片）
電阻R上的瞬時功率由下式給出：
𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡) ∙ 𝑖(𝑡) … (1)
根據歐姆定律：
$$\mathrm{p(t)=v(t)\frac{v(t)}{R}=\frac{v^{2}(t)}{R}\, \, \, \, \cdot \cdot \cdot (2)}$$
此外：
𝑝(𝑡) = 𝑖(𝑡)𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) = 𝑖2(𝑡)𝑅 … (3)
當電阻R的值為1Ω時，其耗散的功率稱為歸一化功率。因此：
歸一化功率，𝑝(𝑡) = 𝑣2(𝑡) = 𝑖2(𝑡) … (4)
如果v(t)或i(t)用連續時間訊號x(t)表示，則瞬時功率等於訊號幅度的平方，即：
𝑝(𝑡) = |𝑥(𝑡)|2 … (5)
因此，連續時間訊號x(t)的平均功率或歸一化功率由下式給出：
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left | x(t) \right |^{2}\: dt\: \: \:瓦特 \:\: \: \: \: \cdot \cdot \cdot (6)}$$
連續時間訊號的總能量或歸一化能量定義為：
$$\mathrm{E=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left | x(t) \right |^{2}\: dt\: \: \: \:焦耳 \: \: \: \cdot \cdot \cdot (7)}$$
離散時間情況
對於離散時間訊號x(n)，積分用求和代替。因此，離散時間訊號x(n)的總能量定義為：
$$\mathrm{E=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | x(t) \right |^{2}}$$
離散時間訊號x(t)的平均功率定義為：
$$\mathrm{P=\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}\left | x(t) \right |^{2}}$$
要點
能量訊號和功率訊號是互斥的，即任何訊號都不能同時是能量訊號和功率訊號。
如果訊號的能量和功率都等於無窮大，則該訊號既不是能量訊號也不是功率訊號。
所有實際訊號都具有有限能量；因此它們是能量訊號。
在實踐中，物理上不可能產生功率訊號，因為它需要無限的持續時間和無限的能量。
所有有限持續時間和有限幅度的訊號都是能量訊號。
能量訊號和功率訊號之和是功率訊號。
在無限持續時間內幅度恆定的訊號是功率訊號。
訊號的能量不受**時間平移**和時間反轉的影響。它只受**時間縮放**的影響。
數值例子
確定訊號𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔0𝑡 + 𝜑)的功率和能量。
解答
給定訊號為：
𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔0𝑡 + 𝜑)
訊號的平均功率
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left | x(t) \right |^{2}\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left | A\, \sin (\omega _{0}t+\varphi ) \right |^{2}\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{A^{2}}{T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left |\frac{1-\cos (2\omega _{0}t+2\varphi )}{2} \right |\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{A^{2}}{2T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\, dt-\frac{A^{2}}{2T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\cos (2\omega _{0}t+2\varphi ) \: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{A^{2}}{2T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\, dt-0=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{A^{2}}{2T}\left [ \frac{T}{2}+\frac{T}{2} \right ]=\frac{A^{2}}{2} }$$
訊號的歸一化能量
$$\mathrm{E=\int_{-\infty }^{\infty }\left | x(t)\right |^{2}\: dt=\int_{-\infty }^{\infty } \left | A\, \sin (\omega _{0}t+\varphi ) \right |^{2}\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow E=A^{2}\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \frac{1-\cos (2\omega _{0}t+2\varphi )}{2} \right ]\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow E=\frac{A^{2}}{2}\int_{-\infty }^{\infty }dt-\frac{A^{2}}{2}\int_{-\infty }^{\infty }\cos (2\omega _{0}t+2\varphi )\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow E=\frac{A^{2}}{2}\left [ t \right ]_{-\infty }^{\infty }-0=\infty }$$
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