資料結構
網路
關係資料庫管理系統 (RDBMS)
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
時尚研究
法學研究訊號與系統 – 瑞利能量定理
訊號的能量
訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的能量定義為該訊號幅度平方的曲線下面積，即：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}}$$
只有當訊號的能量 (E) 有限，即 0 < E < $\infty$ 時，才存在能量訊號。
瑞利能量定理
定理 - 瑞利能量定理指出，一個函式的幅度平方積分（即函式的能量）等於其傅立葉變換的幅度平方積分，即：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{d\omega }}$$
證明
考慮一個函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，其傅立葉變換對為：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
假設 $\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的共軛，其傅立葉變換對為：
$$\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{-\omega }\right)}}$$
那麼，訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的能量由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}}$$
$$\mathrm{\because \left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}}$$
現在，用其傅立葉逆變換替換函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，得到：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\:\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathrm{\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{e^{j\omega t}d\omega}\right]}\:\mathit{dt}}$$
透過交換上式中的積分順序，得到：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\left[\int_{-\infty}^{\infty }\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{j\omega t}\:dt} \right]\:\mathit{d\omega }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{E}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}\:\mathit{d\omega}}$$
$$\mathrm{\because \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\left| \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\right|^{\mathrm{2}}}$$
因此，我們有：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty }\left| \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{d\omega}\:\mathrm{=}\:\int_{\infty}^{\infty}\left| \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}}$$
這就是瑞利能量定理。瑞利能量定理也稱為能量訊號的帕塞瓦爾定理。
上述表示式證明了訊號平方的積分等於其傅立葉變換平方的積分。
3000+ 次瀏覽
