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法律研究訊號與系統：線性系統與非線性系統
線性系統
如果一個系統滿足齊次性原理和疊加原理，則稱該系統為線性系統。
齊次性原理
齊次性原理指出，對於輸入 x(t) 生成輸出 y(t) 的系統，必須對輸入 ax(t) 生成輸出 ay(t)。
疊加原理
根據疊加原理，對於輸入 𝑥1(𝑡) 生成輸出 𝑦1(𝑡) 且對於輸入 𝑥2(𝑡) 生成輸出 𝑦2(𝑡) 的系統，必須對輸入 [𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)] 生成輸出 [𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡)]。
因此，對於連續時間線性系統，
[𝑎𝑦1(𝑡) + 𝑏𝑦2(𝑡)] = 𝑇[𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡)] = 𝑎𝑇[𝑥1(𝑡)] + 𝑏𝑇[𝑥2(𝑡)]
同樣，對於離散時間線性系統，
[𝑎𝑦1(𝑛) + 𝑏𝑦2(𝑛)] = 𝑇[𝑎𝑥1(𝑛) + 𝑏𝑥2(𝑛)] = 𝑎𝑇[𝑥1(𝑛)] + 𝑏𝑇[𝑥2(𝑛)]
因此，我們可以說，如果系統對加權輸入之和的輸出等於各個輸入輸出的加權和，則該系統為線性系統。
濾波器電路、通訊通道等是線性系統的一些例子。
非線性系統
如果一個系統不滿足齊次性原理和疊加原理，則稱該系統為非線性系統。
通常，如果描述系統的方程包含輸入/輸出的平方或更高階項，或者輸入/輸出及其導數的乘積，或者常數，則該系統為非線性系統。GPS 訊號的三邊測量就是一個非線性系統的例子。
數值示例
檢查給定的系統是線性系統還是非線性系統：
$\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+3ty(t)=t^{2}x(t)} $
$\mathrm{3\frac{\mathrm{d}y(t) }{\mathrm{d} t}+4y(t)=x^{2}(t)} $
解答
給定的系統為：
$$\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+3ty(t)=t^{2}x(t)} $$
考慮輸入 𝑥1(𝑡) 生成輸出 𝑦1(𝑡)，則：
$$\mathrm{\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y_{1}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+3ty_{1}(t)=t^{2}x_{1}(t)}\: \: \cdot \cdot \cdot (1)} $$
以及輸入 𝑥2(𝑡) 生成輸出 𝑦2(𝑡)，則：
$$\mathrm{\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y_{2}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+3ty_{2}(t)=t^{2}x_{2}(t)}\: \: \cdot \cdot \cdot (2)} $$
現在，方程 (1) 和 (2) 的線性組合給出：
$$\mathrm{ \begin{Bmatrix} a\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y_{1}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+a3ty_{1}(t)}\ \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} b\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y_{2}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+b3ty_{2}(t)}\ \end{Bmatrix}=at^{2}x_{1}(t)+bt^{2}x_{2}(t) } $$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\mathrm{d} ^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]+3t\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]}$$
$$\mathrm{= t^{2}\left [ ax_{1}(t)+bx_{2}(t) \right ]\: \: \cdot \cdot \cdot (3)}$$
其中，[𝑎𝑦1(𝑡) + 𝑏𝑦2(𝑡)] 是輸出的加權和，[𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡)] 是輸入的加權和。
因此，方程 (3) 表明，對給定系統施加加權輸入之和生成的輸出等於對每個單獨輸入施加輸出的加權和。因此，給定的系統是**線性系統**。
給定的系統為：
$$\mathrm{3\frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t}+4y(t)=x^{2}(t)}$$
假設輸出 𝑦1(𝑡) 對應於輸入 𝑥1(𝑡)，則：
$$\mathrm{3\frac{\mathrm{d} y_{1}(t)}{\mathrm{d} t}+4y_{1}(t)=x_{1}^{2}(t)\: \: \cdot \cdot \cdot (1)}$$
類似地，輸出 𝑦2(𝑡) 對應於輸入 𝑥2(𝑡)，則：
$$\mathrm{3\frac{\mathrm{d} y_{2}(t)}{\mathrm{d} t}+4y_{2}(t)=x_{2}^{2}(t)\: \: \cdot \cdot \cdot (2)}$$
然後，方程 (1) 和 (2) 的線性組合（即齊次性和疊加性）可以寫成：
$$\mathrm{\begin{Bmatrix} a3\frac{\mathrm{d} y_{1}(t)}{\mathrm{d} t}+a4y_{1}(t)\ \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} b3\frac{\mathrm{d} y_{2}(t)}{\mathrm{d} t}+b4y_{2}(t)\ \end{Bmatrix}=ax_{1}^{2}(t)+bx_{2}^{2}(t)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow 3\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]+4\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]=ax_{1}^{2}(t)+bx_{2}^{2}(t)}$$
其中，$\mathrm{\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]}$ 是輸出的加權和，但 $\mathrm{\left [ ax_{1}^{2}(t)+bx_{2}^{2}(t) \right ]} $ 不是輸入的加權和。此處，疊加原理不滿足。因此，給定的系統是**非線性系統**。
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