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法律研究訊號與系統 – 線性時不變 (LTI) 系統的特性
線性時不變系統
如果一個系統滿足疊加原理和齊次性原理，並且其輸入/輸出特性不隨時間變化，則稱為線性時不變 (LTI) 系統。
LTI 系統的特性
連續時間 LTI 系統可以用其單位衝激響應來表示。它採用卷積積分的形式。因此，連續時間卷積所遵循的性質也適用於 LTI 系統。LTI 系統的衝激響應非常重要，因為它可以完全確定 LTI 系統的特性。
在本文中，我們將重點介紹一些 LTI 系統（或連續時間卷積）的重要特性。
LTI 系統的交換律
連續時間中的卷積是交換運算，即：
$$\mathrm{x(t)*h(t)=h(t)*x(t)=\int_{-\infty }^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau )d\tau=\int_{-\infty }^{\infty}h(\tau)\:x(t-\tau )d\tau}$$
因此，根據 LTI 系統的交換律，LTI 系統在輸入為 x(t) 和單位衝激響應為 h(t) 時的輸出與 LTI 系統在輸入為 h(t) 和衝激響應為 x(t) 時的輸出相同。
LTI 系統的分配律
連續時間中的卷積對加法滿足分配律，即：
$$\mathrm{x(t)*[h_{1}(t)+h_{2}(t)]=x(t)*h_{1}(t)+x(t)*h_{2}(t)}$$
LTI 系統的分配律在系統互連方面具有有用的解釋。因此，根據此性質，兩個具有衝激響應 $h_{1}(t)$ 和 $h_{2}(t)$ 的 LTI 系統並聯連線可以替換為一個具有衝激響應 [$h_{1}(t)+h_{2}(t)] 的系統。此外，連續時間卷積的分配律可以用來將複雜的卷積分解成幾個更簡單的卷積。
LTI 系統的結合律
連續時間中的卷積是結合運算，即：
$$\mathrm{x(t)*[h_{1}(t)*h_{2}(t)]=[x(t)*h_{1}(t)]*h_{2}(t)}$$
因此，根據結合律，訊號可以按任何順序進行卷積。
LTI 系統的因果性
因果系統是非超前的，在輸入應用之前不會產生輸出。因此，因果系統的輸出僅取決於輸入的當前值和過去值，而不取決於未來的輸入。
因此，對於因果 LTI 系統，我們得到：
$$\mathrm{h(t)=0;\:for\:t<0}$$
因此：
因果 LTI 系統對非因果輸入的輸出由下式給出：
$$\mathrm{y(t)=\int_{0}^{\infty }h(\tau )\:x(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$
因果 LTI 系統對因果輸入的輸出由下式給出：
$$\mathrm{y(t)=\int_{0}^{t}h(\tau )\:x(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t}x(\tau )\: h(t-\tau)d\tau}$$
LTI 系統的穩定性
如果對於給定的系統，每個有界輸入都產生有界輸出，則該系統是穩定的。LTI 系統的穩定性可以透過其衝激響應來確定。對於連續時間 LTI 系統要穩定，其衝激響應 h(t) 必須是絕對可積的，即：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\left | h(\tau )\right |d\tau<\infty}$$
LTI 系統的可逆性
具有衝激響應的連續 LTI 系統稱為可逆的，如果存在一個具有衝激響應 ${h}'(t)$ 的逆系統，當與原始系統串聯連線時，產生的輸出等於第一個系統的輸入，即：
$$\mathrm{h(t)*{h}'(t)=\delta(t)}$$
有記憶和無記憶的 LTI 系統
如果 LTI 系統在任何時間的輸出僅取決於該時間輸入的值，則稱為靜態或無記憶系統。因此，如果連續時間 LTI 系統滿足以下條件，則稱為無記憶系統：
$$\mathrm{h(t)=0;\:for\:t
eq0}$$
這種無記憶 LTI 系統表示為：
$$\mathrm{y(t)=k\:x(t)}$$
如果系統滿足以下條件，則表示該系統具有記憶：
$$\mathrm{h(t)
eq0;\:for\:t
eq0}$$
有記憶系統也稱為動態系統。
LTI 系統的單位階躍響應
當將單位階躍輸入 u(t) 應用於 LTI 系統時，相應的輸出稱為 LTI 系統的單位階躍響應 s(t)。
LTI 系統的單位階躍響應可以透過將單位階躍輸入 u(t) 與系統的衝激響應 h(t) 進行卷積來獲得，即：
$$\mathrm{s(t)=u(t)*h(t)=h(t)*u(t)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow s(t)=\int_{-\infty }^{t}h(\tau)d\tau}$$
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