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法律研究訊號與系統：線性時不變系統
線性時不變 (LTI) 系統
一個同時具有線性性和時不變性的系統被稱為**線性時不變系統**或**LTI系統**。
使用LTI系統有兩個主要原因：
數學分析變得更容易。
許多物理過程雖然不是絕對的LTI系統，但可以用線性和平移不變性的特性來近似。
連續時間LTI系統
LTI系統總是相對於衝激響應來考慮的。這意味著輸入是衝激訊號，輸出是衝激響應。
考慮圖1所示的連續時間LTI系統的框圖。
這裡，系統的輸入是衝激訊號，即：
𝑥(𝑡) = 𝛿(𝑡)
系統的衝激響應為
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) = 𝑇[𝛿(𝑡)]
根據訊號的移位特性，任何訊號都可以表示為加權和移位的衝激訊號的組合，即：
$$\mathrm{x(t)=\int_{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta \left ( t-\tau \right )d\tau} $$
然後，衝激響應為：
$$\mathrm{y(t)=T\left [x(t) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x(\tau )T\left [ \delta \left ( t-\tau \right ) \right ]d\tau}$$
$$\mathrm{\Rightarrow y(t)=\int_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h\left ( t-\tau \right )d\tau\: \:\: ...(1)} $$
公式(1)中的表示式稱為**卷積積分**。
卷積積分的符號表示為：
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) * ℎ(𝑡) … (2)
離散時間LTI系統
離散時間LTI系統如圖2所示。
這裡，系統的輸入是衝激訊號，即：
𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛)
系統的離散時間衝激響應為：
𝑦(𝑛) = ℎ(𝑛) = 𝑇[𝛿(𝑛)]
根據訊號的移位特性，任何訊號都可以表示為加權和移位的衝激訊號的組合，即：
$$\mathrm{x(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x(k)\, \delta (n-k)} $$
因此，系統的衝激響應為：
$$\mathrm{y(n)=T\left [ \delta (n) \right ]=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x(k)\, T\left [ \delta (n-k) \right ]} $$
$$\mathrm{\Rightarrow y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x(k)\,h(n-k)\: \: \cdot \cdot \cdot (3)} $$
公式(3)的表示式稱為卷積和。卷積和可以用符號表示為：
𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) * ℎ(𝑛) … (4)
此外，
$$\mathrm{ y(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x(k)\,h(n-k)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x(n-k)\,h(k)\: \: \cdot \cdot \cdot (5)} $$
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