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法學訊號與系統 – 線性時不變 (LTI) 系統的響應
線性時不變系統
一個滿足疊加原理和齊次性原理，並且輸入/輸出特性不隨時間變化的系統被稱為線性時不變 (LTI) 系統。
LTI 系統的衝激響應
當衝激訊號作用於線性系統時，系統的響應稱為衝激響應。系統的衝激響應對於理解系統的行為至關重要。
因此，如果
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{輸入}, x\left(t\right)=\delta\left(t\right)}}$$
那麼，
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{輸出}, y\left(t\right)=h\left(t\right)}}$$
由於衝激函式的拉普拉斯變換和傅立葉變換分別為：
$$\mathrm{\mathit{L\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}\:\:\mathrm{and} \:\:F\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$
因此，一旦已知 LTI 系統在頻域中的傳遞函式 $\mathit{H\left(\omega\right)}$，則可以透過對 $\mathit{H\left(\omega\right)}$ 進行傅立葉逆變換來確定系統的衝激響應，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left(t\right)=F^{-\mathrm{1}}\left [ H\left(\omega\right) \right ]}}$$
類似地，一旦已知 LTI 系統在 s 域中的傳遞函式 $\mathit{ H\left(s\right)}$，則可以透過對 $\mathit{ H\left(s\right)}$ 進行拉普拉斯逆變換來確定系統的衝激響應，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left(t\right)=L^{-\mathrm{1}}\left [ H\left(s\right) \right ]}}$$
一旦已知線性系統的衝激響應 $\mathit{ h\left(t\right)}$，則可以透過將輸入與系統的衝激響應進行卷積來獲得任何給定輸入訊號 $\mathit{ x\left(t\right)}$ 的線性系統響應 $\mathit{ y\left(t\right)}$，即：
$$\mathrm{\mathit{ y\left(t\right)=h\left(t\right)*x\left(t\right)=x\left(t\right)*h\left(t\right)}}$$
LTI 系統的階躍響應
卷積積分可用於獲得連續時間 LTI 系統的階躍響應。如果單位階躍訊號 $\mathit{u\left(t\right)}$ 是具有衝激響應 $\mathit{h\left(t\right)}$ 的系統的輸入訊號，則系統的階躍響應由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{s\left(t\right)\mathrm{=}h\left(t\right)*u\left(t\right)}}$$
如果給定系統是非因果的，則階躍響應由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{s\left(t\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{t}h\left(\tau\right)u\left(t-\tau\right)d\tau =\int_{-\infty }^{t}h\left(\tau\right)d\tau }}$$
並且，當給定系統是因果的時，階躍響應為：
$$\mathrm{\mathit{s\left(t\right)=\int_{\mathrm{0}}^{t}h\left(\tau\right)d\tau} }$$
因此，LTI 系統的階躍響應是系統衝激響應的累積積分。
現在，當因果和非因果訊號作用於因果和非因果系統時，我們得到以下輸出：
當非因果訊號作用於非因果系統時，則：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }h\left(\tau\right)x\left(t-\tau\right)d\tau \mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)d\tau }}$$
當因果訊號作用於非因果系統時，則：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{t }h\left(\tau\right)x\left(t-\tau\right)d\tau \mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }x\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)d\tau }}$$
當非因果訊號作用於因果系統時，則：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }h\left(\tau\right)x\left(t-\tau\right)d\tau \mathrm{=}\int_{-\infty }^{t}x\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)d\tau }}$$
當因果訊號作用於因果系統時，則：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{t }h\left(\tau\right)x\left(t-\tau\right)d\tau \mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{t}x\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)d\tau }}$$
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