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法律研究訊號與系統 – 傅立葉變換的時移特性
對於連續時間函式 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅立葉變換可以定義為：
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$
傅立葉變換的時移特性
說明 – 傅立葉變換的時移特性指出，如果訊號 𝑥(𝑡) 在時域中移動 𝑡0，則頻譜將被修改為具有斜率 (−𝜔𝑡0) 的線性相移。因此，如果：
$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( \omega \right )}$$
那麼，根據傅立葉變換的時移特性：
$$\mathrm{x\left ( t -t_{0}\right )\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$
證明
根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]= X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( t-t_{0} \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left (t -t_{0} \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$
將 (𝑡 − 𝑡0) 替換為 𝑢，則：
$$𝑡 = (𝑢 + 𝑡_{0}) 和 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢$$
因此
$$\mathrm{F\left [ x\left ( t -t_{0}\right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( u \right )e^{-j\omega \left ( u+t_{0} \right )}\: du}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ x\left ( t -t_{0}\right ) \right ]=e^{-j\omega t_{0}}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( u \right )e^{-j\omega u}\: du=e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( t -t_{0}\right ) \right ]=e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{x\left ( t-t_{0} \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$
同樣地，
$$\mathrm{x\left ( t+t_{0} \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )}$$
傅立葉變換的時移特性具有非常重要的意義。也就是說：
$$\mathrm{幅度,\left | e^{-j\omega t_{0}} X\left ( \omega \right )\right |=\left | X\left ( \omega \right ) \right |}$$
和：
$$\mathrm{相位,\angle e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right )=e^{-j\omega t_{0}}+\angle X\left ( \omega \right )=\angle \left ( -\omega t_{0} \right )+\angle X\left ( \omega \right )}$$
由此可見，函式在時域中移動 𝑡0 會導致其傅立葉變換乘以 𝑒−𝑗𝜔𝑡0。因此，幅度譜沒有變化，但相位譜線性移動。
數值示例
使用傅立葉變換的時移特性，求訊號 [𝑒−𝑎|𝑡−2|] 的傅立葉變換。
解答
已知：
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝑎|𝑡−2|
由於雙邊指數訊號的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{F\left [ e^{-a\left | t \right |} \right ]=\frac{2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$$
現在，使用時移特性 $\mathrm{ \left [i.e.\: x\left ( t-t_{0} \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-j\omega t_{0}}X\left ( \omega \right ) \right ]}$ 進行傅立葉變換，我們有：
$$\mathrm{F\left [ e^{-a\left | t-2 \right |} \right ]=e^{-j2\omega}\left ( \frac{2a}{a^{2}+\omega ^{2}} \right )}$$
或者，它也可以寫成：
$$\mathrm{e^{-a\left | t-2 \right |}\overset{FT}{\leftrightarrow} e^{-j2\omega}\left ( \frac{2a}{a^{2}+\omega ^{2}} \right )}$$
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