訊號與系統 – 傅立葉變換的時間積分性質

傅立葉變換

對於連續時間函式 x(t)，x(t) 的傅立葉變換可以定義為：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)\:e^{-jwt}\:dt}$$

並且**逆傅立葉變換**定義為：

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}X(\omega)\:e^{jwt}\:d\omega}$$

傅立葉變換的時間積分性質

陳述

連續時間傅立葉變換的時間積分性質指出，函式 x(t) 在時域的積分等價於其傅立葉變換在頻域除以因子 jω。因此，如果：

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega )}$$

那麼，根據時間積分性質：

$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{X(\omega )}{j\omega };\:\:(if\:X(0)=0)}$$

證明

當 X(0)=0 時，可以使用分部積分法證明 CTFT 的時間積分性質。

因此，根據逆傅立葉變換的定義，我們有：

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}X(\omega)\:e^{jwt}\:d\omega}$$

將 t 替換為變數 τ，得到：

$$\mathrm{x(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}X(\omega)\:e^{jwt}\:d\omega}$$

在兩邊對 $(-\infty)$ 到 (t) 進行時間積分，得到：

$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau=\int_{-\infty}^{t}\left [ \frac{1} {2\pi}\int_{-\infty}^{\infty }X(\omega)\: e^{j\omega\tau }\:d\tau \right]d\omega}$$

透過交換上式右邊積分的順序，得到：

$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega )\left [\int_{-\infty}^{t} e^{j\omega\tau}d\tau\right]d\omega}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega )\left [ \frac{e^{j\omega\tau}}{j\omega}\right]^t_{-\infty}\:d\omega}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left [\frac{X(\omega)}{j\omega} \right]e^{j\omega t} d\omega=F^{-1}\left [ \frac{X(\omega)}{j\omega} \right ]}$$

$$\mathrm{\therefore F\left [\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau \right ]=\frac{X(\omega)}{j\omega}}$$

或者，它也可以表示為：

$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{X(\omega)}{j\omega}}$$

注意

當 $X(0)
eq0;$ 時，函式 x(t) 不是能量函式，因此 $[\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau]$ 的傅立葉變換包括一個衝激函式，即：

$$\mathrm{F\left [\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:d\tau \right ]=\frac{X(\omega)}{j\omega}+\pi\:X(0)\delta(\omega)}$$

Manish Kumar Saini

更新於： 2021-12-15

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