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法律研究訊號與系統 – 週期訊號的傅立葉變換
傅立葉級數只能用於分析週期訊號，而傅立葉變換則可以用於分析週期和非週期函式。因此，傅立葉變換可用作分析整個區間內週期和非週期訊號的通用數學工具。週期訊號的傅立葉變換可以使用衝激函式的概念來求得。
現在，考慮一個週期為$\mathit{T}$的週期訊號$\mathit{x\left(t\right )}$。那麼，$\mathit{x\left(t\right )}$用指數傅立葉級數表示為：
$$\mathrm{\mathit{x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } C_{n}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t}}}$$
其中$\mathit{C_{n}}$為傅立葉係數，由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{C_{n}=\frac{\mathrm{1}}{T}\int_{-T/\mathrm{2}}^{T/\mathrm{2}}x\left(t\right)\:e^{-jn\omega _{\mathrm{0}}t}\:dt}}$$
因此，訊號$\mathit{x\left(t\right )}$的傅立葉變換為：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left(t\right) \right ]=X\left(\omega\right)=F\left [ \sum_{n=-\infty }^{\infty }\:C_{n}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left(\omega\right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\:C_{n}\:F\left [ e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t} \right ]}}$$
利用傅立葉變換的頻移特性$[\mathit{i.e.,e^{j\omega_{\mathrm{0}}t}\:x\left(t\right)\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left(\omega -\omega_{\mathrm{0}}\right)}]$，得到：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ \mathrm{1}\:.e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t} \right ]=\mathrm{2}\pi\delta\left(\omega -n\omega _{\mathrm{0}}\right)}}$$
因此，週期函式的傅立葉變換為：
$$\mathrm{\mathit{X\left(\omega\right)\mathrm{=}\mathrm{2}\pi\:\sum_{n=-\infty }^{\infty }\:C_{n}\:\delta\left(\omega -n\omega _{\mathrm{0}}\right)}}$$
因此，
週期函式的傅立葉變換由一系列等間距的衝激組成，這些衝激位於訊號的諧波頻率處。
每個衝激的面積或強度由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{衝激面積} = \mathrm{2}\pi C_{n}}}$$
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