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法律訊號與系統 – 傅立葉變換的對偶性質
傅立葉變換
對於連續時間函式 x(t)，x(t) 的傅立葉變換可以定義為
$$\mathrm{X(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
連續時間傅立葉變換的對偶性質
陳述 – 如果一個函式 x(t) 具有傅立葉變換 X(ω)，並且我們在時域中形成一個具有傅立葉變換函式形式的新函式 X(t)，那麼它將具有一個傅立葉變換 X(ω)，其函式形式為原始時間函式，但它是頻率的函式。
在數學上，CTFT 的對偶性質指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那麼，根據對偶性質，
$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(-\omega)}$$
證明
根據傅立葉逆變換的定義，我們有
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega }$$
$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$
透過在上述方程中替換 𝑡 = (−𝑡)，我們得到，
$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(-t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-j\omega t}d\omega}$$
現在，交換 t 和 ω，我們得到，
$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}X(t)e^{-j\omega t}dt=F[X(t)]}$$
所以，
$$\mathrm{F[X(t)]=2\pi.x(-\omega)}$$
或者，它也可以表示為
$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi.x(-\omega)}$$
此外，對於偶函式，
$$\mathrm{x(-\omega)=x(\omega)}$$
因此，傅立葉變換對偶性質對於偶函式指出
$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(\omega)}$$
數值示例
使用傅立葉變換的對偶性質，求以下訊號的傅立葉變換：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{a^2+t^2}}$$
解決方案
給定
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{a^2+t^2}}$$
雙邊指數函式的傅立葉變換定義為
$$\mathrm{F[e^{-a|t|}]=\frac{2a}{a^2+\omega^2}}$$
$$\mathrm{現在，透過使用對偶性質 [即，X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi.x(-\omega)]，我們有，}$$
$$\mathrm{F[\frac{2a}{a^2+t^2}]=2\pi e^{-a|-\omega|}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F[\frac{1}{a^2+t^2}]=\frac{1}{2a}.2\pi e^{-a|\omega|}}$$
因此，給定訊號的傅立葉變換為，
$$\mathrm{F[x(t)]=F[\frac{1}{a^2+t^2}]=\frac{\pi}{a}.e^{-a|\omega|}}$$
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