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法學訊號與系統 – 傅立葉變換的乘法性質
對於連續時間函式$\mathit{x(t)}$，$\mathit{x(t)}$ 的傅立葉變換可以定義為
$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}}$$
而逆傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{F^{\mathrm{-1}}\left [ X\left ( \omega \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}x\left ( t \right )\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega }}$$
傅立葉變換的乘法性質
說明 – 連續時間傅立葉變換 (CTFT) 的乘法性質指出，時域中兩個函式的乘積等價於頻域中其頻譜的卷積。乘法性質也稱為傅立葉變換的頻域卷積定理。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\: \mathrm{and} \: x_{\mathrm{2}}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right )} }$$
那麼，根據乘法性質：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}(t)\cdot x_{\mathrm{1}}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\left [ X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) \right ]}}$$
證明
根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}X\left ( \omega \right )\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\infty }^{\infty}\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]e^{-j\omega t}dt}}$$
現在，根據逆傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\infty }^{\infty}\left [\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )e^{jpt} dp \right ]x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}}$$
透過交換上述表示式右邊積分的順序，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )\left [\int_{-\infty }^{\infty} x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )e^{jpt}e^{-j\omega t}dt \right ]dp}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )\left [\int_{-\infty }^{\infty} x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )e^{-j\left ( \omega -p \right )t}dt \right ]dp}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )X_{\mathrm{2}}\left ( \omega -p \right )dp}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{2}}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\left [ X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) \right ]}}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{x_{1}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\left [ X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) \right ]}}$$
此外，
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{2}\pi\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{1}}\left ( t \right ) \right ]\overset{FT}{\leftrightarrow} \left [ X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \left [ x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{1}}\left ( t \right ) \right ]\overset{FT}{\leftrightarrow} \left [ X_{\mathrm{1}}\left ( f \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( f \right ) \right ];\; \; \left ( \because f\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\omega }{\mathrm{2}\pi } \right )}}$$
數值示例
利用傅立葉變換的乘法性質，求出如下函式的傅立葉變換：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\mathrm{=}}\left [ u(t\mathrm{\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}}\mathrm{2})-u\left ( t-\mathrm{2} \right ) \right ]\cos \mathrm{2}\pi t}} $$
解答
根據餘弦函式的傅立葉變換定義，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{F\left[ \cos \mathrm{2}\pi t \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\pi \delta \left ( \omega -\mathrm{2}\pi \right )\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\pi \delta \left ( \omega \mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\mathrm{2}\pi \right )}}$$
根據單位階躍函式的傅立葉變換定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ u\left ( t\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\mathrm{2} \right )-u\left ( t-\mathrm{2} \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\mathrm{1}\cdot e^{-j\omega t\: }dt\mathrm{\mathrm{=}}\left [ \frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right ]_{-\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}} $$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{F\left [ u\left ( t\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\mathrm{2} \right )-u\left ( t-\mathrm{2} \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\left [ \frac{e^{-j\mathrm{2}\omega }-e^{j\mathrm{2}\omega }}{-j\omega } \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\left [ \frac{e^{j\mathrm{2}\omega }-e^{-j\mathrm{2}\omega }}{j\omega } \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{F\left [ u\left ( t\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\mathrm{2} \right )-u\left ( t-\mathrm{2} \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\left [ \frac{\mathrm{2}\left ( e^{j\mathrm{2}\omega }-e^{-j\mathrm{2}\omega } \right )}{\mathrm{2}j\omega } \right ]\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{4}\: \sin \mathrm{2}\omega }{\mathrm{2}\omega }\mathrm{\mathrm{=}}\mathrm{4}\: \sin c(\mathrm{2}\omega )}}$$
現在，給定函式的傅立葉變換為：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}F\left [ \left [ u\left ( t\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\mathrm{2} \right )-u\left ( t-\mathrm{2} \right ) \right ]\cos \mathrm{2}\pi t \right ]}}$$
利用傅立葉變換的乘法性質$\mathrm{\mathit{\left [ i.e.,\: \: x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\cdot x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\left [ X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\ast X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) \right ] \right ]}}$，我們有：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\mathrm{4}\sin \mathrm{2}p}{\mathrm{2}p}\left [ \pi \delta \left ( \omega-\mathrm{2}\pi -p \right ) \mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}} \pi \delta \left ( \omega\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\mathrm{2}\pi -p \right )\right ]dp}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\mathrm{4}\sin \mathrm{2}p}{\mathrm{2}p}\: \pi \delta \left ( \omega-\mathrm{2}\pi -p \right )dp\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\frac{\mathrm{4}\sin \mathrm{2}p}{\mathrm{2}p}\: \pi \delta \left ( \omega\mathrm{\mathrm{+}}\mathrm{2}\pi -p \right )dp }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\mathrm{=}} \frac{\mathrm{2}\sin \mathrm{2}\left ( \omega -\mathrm{2}\pi \right )}{\mathrm{2}\left ( \omega -\mathrm{2}\pi \right )}\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\frac{\mathrm{2}\sin \mathrm{2}\left ( \omega \mathrm{\mathrm{+}}\mathrm{2}\pi \right )}{\mathrm{2}\left ( \omega \mathrm{\mathrm{+}}\mathrm{2}\pi \right)}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}X\left ( \omega \right )\mathrm{\mathrm{=}}\mathrm{2}\sin c\left [ \mathrm{2}\left ( \omega -\mathrm{2}\pi \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{\mathrm{+}}}\mathrm{2}\sin c\left [ \mathrm{2}\left ( \omega \mathrm{\mathrm{+}}\mathrm{2}\pi \right ) \right ] }}$$
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