訊號與系統 – 拉普拉斯變換與Z變換之間的關係


Z變換

Z變換 (ZT) 是一種數學工具,用於將時域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。

在數學上,如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間訊號或序列,那麼它的雙邊雙側Z變換定義為 −

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$

其中,z 是一個復變數。

此外,單邊單側Z變換定義為 −

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$

拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是一種數學工具,用於將時域中的微分方程轉換為頻域或s域中的代數方程。

在數學上,如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一個連續時間函式,那麼它的拉普拉斯變換定義為 −

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$

公式 (1) 給出了函式$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的雙邊拉普拉斯變換。但對於因果訊號,應用單邊拉普拉斯變換,其定義為 −

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\mathrm{\infty} }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$

拉普拉斯變換與Z變換之間的關係

設$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一個連續時間訊號。該訊號的離散時間版本為$\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$,訊號$\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 透過對$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 進行取樣得到,取樣週期為T秒,換句話說,序列$\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 透過將訊號$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 與一系列間隔T秒的脈衝相乘得到,即

$$\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right)}\mathit{\delta \mathrm{\left(\mathit{t-nT}\right)}}}$$

對兩邊取拉普拉斯變換,得到:

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right)}\mathit{\delta \mathrm{\left(\mathit{t-nT}\right)}}\right]}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right)}\mathit{L}\:\mathrm{\left[\mathit{\delta \mathrm{\left ( \mathit{t-nT}\right)}} \right ]}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x\mathrm{\left (\mathit{nT}\right)}}\mathit{e^{-nsT}}\:\:\:\:\:\:...(\mathrm{5})}$$

現在,序列x(nT) 的Z變換由下式給出:

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right)}\right]}\:\mathrm{=\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x\mathrm{\left (\mathit{nT}\right)}}\mathit{z^{-n}}}\:\:\:\:\:\:...(\mathrm{6})}$$

從公式 (5)&(6) 中,我們有:

$$\mathrm{ \mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x\mathrm{\left (\mathit{nT}\right)}}\mathit{z^{-n}} \right ]}_{\mathit{z=e^{sT}}}}$$

因此,拉普拉斯變換和Z變換之間的關係由下式給出:

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z\mathrm{\left[\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}}_{\mathit{z=e^{sT}}}}$$

更新於: 2022年1月7日

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