Z變換和拉普拉斯變換的區別

Z變換

Z變換 (ZT) 是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。

在數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一個離散時間訊號或序列，那麼它的雙邊或雙側Z變換定義為−

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$

其中，z是一個復變數。

此外，單邊或單側z變換定義為−

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=\mathrm{0} }}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$

拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或s域中的代數方程。

在數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一個時域函式，那麼它的拉普拉斯變換定義為−

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$

公式 (1) 給出了函式$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的雙邊拉普拉斯變換。但對於因果訊號，應用單邊拉普拉斯變換，其定義為−

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$