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法學週期函式的拉普拉斯變換（拉普拉斯變換的時間週期性特性）
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 *s* 域中的代數方程。
數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是一個時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$
公式(1)給出了函式$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$的雙邊拉普拉斯變換。但對於因果訊號，則應用單邊拉普拉斯變換，其定義為：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$$
週期函式的拉普拉斯變換
週期函式的拉普拉斯變換可以透過使用時移特性來確定[$\mathrm{i.e.,\mathit{\, x\left ( t-T \right )\mathrm{\, =\,}e^{-sT}X\left ( s \right )}}$]。考慮一個因果週期函式$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$，它滿足條件$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( t\mathrm{\, +\,}nT \right )}}$ 對於所有 t > 0，其中 T 是$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$的週期，n = 0, 1, 2,….
現在，根據拉普拉斯變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}dt\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{3} \right )}}$$
上述表示式也可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\int_{T}^{\mathrm{2}T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\int_{\mathrm{2}T}^{\mathrm{3}T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot \mathrm{\, +\,}\int_{nT}^{\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{1} \right )T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}e^{-st}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t\mathrm{\, +\,}T \right )e^{-st}dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, +\,}e^{-\mathrm{2}sT}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}T \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, +\,}e^{-nsT}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t\mathrm{\, +\,}nT \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot \: \: \cdot \cdot \cdot \left(\mathrm{4} \right )}}$$
由於函式$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是一個週期函式，因此：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( t\mathrm{\, +\,}T \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( t\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}T \right )\mathrm{\, =\,}\cdot \cdot \cdot}}$$
因此，公式(4)可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}e^{-st}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}e^{-\mathrm{2}st}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, +\,}e^{-nst}\int_{\mathrm{0}}^{T }x\left ( t \right )e^{-st}dt\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \mathrm{1}\mathrm{\, +\,}e^{-sT}\mathrm{\, +\,}e^{-\mathrm{2}sT}\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot \mathrm{\, +\,}e^{-nsT}\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot \right ]\int_{\mathrm{0}}^{T}x\left ( t \right )e^{-st}dt\; \; \left ( \mathrm{5} \right )}}$$
利用二項式級數展開，我們可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \mathrm{1}-e^{-sT} \right ]^{\mathrm{-1}}\int_{\mathrm{0}}^{T}x\left ( t \right )e^{-st}\, dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-sT} \right ]}X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{6} \right )}}$$
其中，
$$\mathrm{\mathit{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{\mathrm{0}}^{T}x\left ( t \right )e^{-st}\, dt\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{7} \right )}}$$
$\mathrm{\mathit{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}}$是時間函式第一個週期的拉普拉斯變換。公式(6)表示拉普拉斯變換的週期性特性。
數值例子
使用拉普拉斯變換的週期性特性，求函式$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{sin}\, \pi t\, u\left ( t \right )}}$的拉普拉斯變換。
解答
給定函式為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{sin}\, \pi t\, u\left ( t \right )}}$$
給定訊號是一個週期訊號，週期T為：
$$\mathrm{\mathit{T\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{2}\pi }{\omega }\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{2}\pi }{\pi }\mathrm{\, =\,}}2\: 秒}$$
現在，利用拉普拉斯變換的週期性特性，我們有：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\, \left ( \pi t \right )e^{-st}\, dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\left ( \frac{e^{j\, \pi t}-e^{-j\, \pi t}}{\mathrm{2}j} \right )e^{-st}\, dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left [\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}j} \left\{ \int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}} e^{j\, \pi t}e^{-st}\, dt-\int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}e^{-j\, \pi t}e^{-st}\, dt\right\} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left [\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}j} \left\{ \int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}} e^{-\left (s- j\, \pi \right ) t}\, dt-\int_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}e^{-\left ( s\mathrm{\, +\,}j\, \pi \right ) t}\, dt\right\} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}j}\left [ \frac{e^{-\left (s- j\, \pi \right ) t}}{-\left ( s-j\pi \right )}-\frac{e^{-\left ( s\mathrm{\, +\,}j\, \pi \right ) t}}{-\left ( s\mathrm{\, +\,}j\pi \right )} \right ]_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}\right\}}}$$
解出極限後，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}j}\left [ \frac{-\left ( s\mathrm{\, +\,}j\pi \right )\left [e^{-\mathrm{2}\left ( s-j\pi \right )t}-\mathrm{1} \right ]\mathrm{\, +\,}\left ( s-j\pi \right )\left [e^{-\mathrm{2}\left ( s\mathrm{\, +\,}j\pi \right )t}-\mathrm{1} \right ]}{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\pi ^{\mathrm{2}}} \right ] \right\}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-e^{-\mathrm{2}s} \right ]}\left [ \frac{\pi \left ( \mathrm{1}-e^{\mathrm{-2}s} \right )}{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\pi ^{\mathrm{2}}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \frac{\pi}{s^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\pi ^{\mathrm{2}}} \right ]}}$$
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