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法學拉普拉斯變換與傅立葉變換的關係
傅立葉變換
傅立葉變換是一種變換技術，用於將訊號從連續時間域轉換為相應的頻域。
數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一個連續時間域函式，則其傅立葉變換為：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega t}}\:\mathit{dt}} \:\:\:\:\:\:...(1)}$$
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時間域中的微分方程轉換為頻域或s域中的代數方程。
數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一個時間域函式，則其拉普拉斯變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
其中，s是一個復變數，表示為：
$$\mathrm{\mathit{s}\:\mathrm{=}\:\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}}$$
拉普拉斯變換和傅立葉變換之間的關係
根據傅立葉變換的定義，時間域函式$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的傅立葉變換是形式為$\mathit{e^{j\omega t}}$的指數函式的連續和，這意味著它使用了正負頻率的波的疊加。傅立葉變換用於求解描述系統輸入和輸出關係的微分方程。
為了求解這些微分方程，首先需要將微分方程轉換為代數方程，然後對代數方程進行運算，得到輸出$\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$的傅立葉變換作為頻率響應$\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$和系統輸入$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$的傅立葉變換的函式。最後，透過對輸出$\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$進行傅立葉逆變換，得到時間函式形式的輸出。
但是，對於許多訊號，例如$\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|$，傅立葉變換並不存在，因為它不是絕對可積的。此外，傅立葉變換也不能用於分析不穩定系統。
因此，在傅立葉變換無法使用的情況下，可以使用拉普拉斯變換。拉普拉斯變換重新定義了變換，並在jω中包含了一個指數收斂因子σ。因此，使用拉普拉斯變換，時間域訊號$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$可以表示為形式為$\mathit{e^{st}}$的復指數函式的和。
由於包含了指數收斂因子(σ)，函式$\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|$變得絕對可積。因此，對於傅立葉變換不存在的函式，拉普拉斯變換存在。
現在，連續時間訊號$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega t}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
傅立葉逆變換為：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{e^{\mathit{j\omega t}}\:\mathit{d\omega }}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
在傅立葉變換的定義中將ω替換為$\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}$，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{X}\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}\right)\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathrm{\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega} \right )}t}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$
然後，傅立葉逆變換，即$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\mathit{X}\mathrm{\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega} \right )}\mathit{e^{\mathrm{\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega} \right )}t}\:\mathit{d\omega }}\:\:\:\:\:\:...(6)}$$
項$\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}$用s表示。然後：
$$\mathrm{\mathit{j}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{ds}}{\mathit{d\omega}}\:\mathrm{or}\:\mathit{d\omega}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{ds}}{\mathit{j}}}$$
將這些值代入公式(5)和(6)，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(7)}$$
以及
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi\mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty } \right)}}^{\mathrm{\left(\sigma \mathrm{+}\mathit{j\infty} \right)}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{e^{\mathit{st}}\:\mathit{d\omega }}\:\:\:\:\:\:...(8)}$$
公式(7)和(8)構成雙邊拉普拉斯變換對或復傅立葉變換對。因此，拉普拉斯變換隻是訊號的復傅立葉變換。因此，傅立葉變換等效於沿s平面虛軸計算的拉普拉斯變換，即：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}|_{\mathit{s=j\omega}}}$$
換句話說，函式$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的拉普拉斯變換等於$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{\sigma t}}}$的傅立葉變換，即：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{\sigma t}}} \right ]}}$$
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