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法律研究訊號與系統 – 離散時間傅立葉變換與Z變換之間的關係
離散時間傅立葉變換
離散時間訊號的傅立葉變換稱為離散時間傅立葉變換 (DTFT)。DTFT 將時域序列轉換為頻域訊號。離散時間序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的 DTFT 為：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-j\omega n}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
Z變換
Z變換是一種數學方法，用於將時域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。數學上，離散時間序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z變換為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
DTFT和Z變換之間的關係
由於離散時間序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的DTFT為：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
為了使DTFT存在，序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$必須是絕對可和的，因此上述等式中的求和應收斂。
此外，序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z變換為：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
其中，z是一個復變數，由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathit{r\:e^{j\omega}}}$$
其中，*r*是圓的半徑。因此，將z的值代入公式(4)，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{r\:e^{j\omega }}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathrm{\left(\mathit{r\:e^{j\omega}}\right)}^{-\mathit{n}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}}\right]}\mathit{e^{-j\omega n}}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$
為了使Z變換存在，
$$\mathrm{\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r^{\mathit{-n}}} \right|<\infty}$$
也就是說，求和應該收斂，或者$\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}}\right]}$必須是絕對可積的。公式(5)表示訊號$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}}$的離散時間傅立葉變換。
因此，可以說離散時間序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z變換與$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}}$的離散時間傅立葉變換(DTFT)相同，即：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{r}^{-\mathit{n}} \right ]}}$$
同樣，為了使離散時間傅立葉變換(DTFT)存在，離散時間序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$必須是絕對可積的，即：
$$\mathrm{\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right|<\infty}$$
因此，許多序列可能不存在DTFT，但可能存在Z變換。
此外，如果r = 1，則離散時間傅立葉變換(DTFT)與Z變換相同。換句話說，DTFT只不過是在z平面原點中心單位圓上計算的Z變換。
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