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法學訊號與系統 – 逆Z變換是什麼？
逆Z變換
**逆Z變換**定義為從其Z變換$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$ 求解時域訊號$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 的過程。逆Z變換表示為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}Z^{-\mathrm{1}}\left [ X\left ( z \right ) \right ]}}$$
由於Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$
其中，z是一個復變數，由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{z\mathrm{\, =\,}r\, e^{j\, \omega }}}$$
其中，r是z平面中圓的半徑。因此，將z的值代入式(1)，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}X\left ( r\, e^{j\, \omega } \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }\left [ x\left ( n \right )r^{-n} \right ]e^{-j\, \omega \, n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$$
式(2)是訊號$\mathrm{\mathit{\left [ x\left ( n \right )r^{-n} \right ]}}$ 的離散時間傅立葉變換(DTFT)。因此，函式$\mathrm{\mathit{X\left ( r\, e^{j\, \omega } \right )}}$ 的逆DTFT必須是$\mathrm{\mathit{\left [ x\left ( n \right )r^{-n} \right ]}}$ 。因此，我們可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{F^{-\mathrm{1}}\left [ X\left ( r\, e^{j\, \omega } \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}x\left ( n \right )r^{-n}\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\pi }^{\pi }X\left ( re^{j\, \omega } \right )e^{j\, \omega \, n}d\omega}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\pi }^{\pi }X\left ( re^{j\, \omega } \right )\left ( re^{j\, \omega } \right )^{n}\: d\omega\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{3} \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\because z\mathrm{\, =\,}re^{j\, \omega }}}$$
那麼，
$$\mathrm{\mathit{\frac{dz}{d\omega }\mathrm{\, =\,}jre^{j\, \omega }\; \; or\: \: d\omega \mathrm{\, =\,}\frac{dz}{jre^{j\, \omega }}}}$$
將z和dω的值代入式(3)，我們有：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint_{c}X\left ( z \right )z^{\left ( n-1 \right )}\, dz\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{4} \right ) }}$$
式(4)中給出的積分表示沿半徑為$\mathrm{\mathit{\left|z \right|\mathrm{\, =\,}r}}$ 的圓進行逆時針方向的積分。 *這是求逆Z變換的直接方法*。直接法相當繁瑣。因此，使用間接方法求逆Z變換。
求逆Z變換的方法
通常，有以下四種方法用於求逆Z變換：
**長除法或冪級數法** – 長除法很簡單，這種方法的優點是它更通用，可以應用於任何問題。但是，這種方法的缺點是它不能給出封閉形式的解。此外，只有當給定Z變換$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$ 的收斂域(ROC)的形式為|$\mathrm{\mathit{z}}$| > 𝑎 或|$\mathrm{\mathit{z}}$| < 𝑎時才能使用它。
**部分分式展開法** – 在這種方法中，真分數$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$⁄$\mathrm{\mathit{z}}$ 被寫成部分分式的形式，並透過標準Z變換對找到每個部分分式的逆Z變換，然後將它們全部加起來。
**留數法或復反演積分法** – 在留數法中，逆Z變換是使用以下公式得到的：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint_{c}X\left ( z \right )z^{\left ( n-1 \right )}\, dz }}$$
**卷積積分法** – 卷積積分法利用Z變換的卷積性質，當給定Z變換$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$ 可以寫成兩個函式的乘積時，可以使用這種方法。
數值例子
確定逆Z變換：
$$\mathrm{\mathit{X\left (z \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{4}z^{-\mathrm{1}}}{\left [ \mathrm{1-\left ( \frac{1}{3} \right )}z^{-\mathrm{1}} \right ]^{\mathrm{2}}};\; \; ROC\to \left|z \right|>\left ( \mathrm{\frac{1}{3}} \right )}}$$
解答
逆Z變換可以使用以下公式獲得：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint_{c}X\left ( z \right )z^{\left ( n-1 \right )}\, dz }}$$
這個公式可以透過找到ROC中z平面內圓c內所有極點的留數之和來計算。因此，上述公式也可以寫成
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\sum }c內極點處的\mathit{X\left ( z \right )z^{n-\mathrm{1}}}\: 的留數}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{i}\left ( z-z_{i} \right )X\left ( z \right )z^{n-\mathrm{1}}|_{z\mathrm{\, =\,}z_{i}}}}$$
現在，如果存在k階極點，則該極點的留數由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left ( k-\mathrm{1} \right )\mathrm{\, !\,}}\frac{d^{k-\mathrm{1}}}{dz^{k-\mathrm{1}}}\left [ \left ( z-z_{i} \right )^{k}X\left ( z \right )z^{n-\mathrm{1}} \right ]_{z\mathrm{\, =\,}z_{i}}}}$$
給定的Z變換是：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{4}z^{-\mathrm{1}}}{\left [ \mathrm{1-\left ( \frac{1}{3} \right )} z^{\mathrm{-1}}\right ]^{\mathrm{2}}}\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{4}z}{\left [ \mathrm{\mathit{z}-\left ( \frac{1}{3} \right )}\right ]^{\mathrm{2}}}}}$$
由於給定的Z變換$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$ 在$\mathrm{\mathit{z}}$ = (1/3)處具有2階極點。
$$\mathrm{\mathit{\therefore x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left ( \mathrm{2}-\mathrm{1} \right )\mathrm{\, !\,}}\frac{d^{\left ( \mathrm{2-1} \right )}}{dz^{\left ( \mathrm{2-1} \right )}}\left [ \left ( z-\mathrm{\frac{1}{3}} \right )^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{4}z\: z^{n-\mathrm{1}}}{\left [ z-\left ( \mathrm{\frac{1}{3}} \right ) \right ]^{\mathrm{2}}} \right ]_{z\mathrm{\, =\,}\mathrm{\left ( 1/3 \right )}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\frac{d}{dz}\left [ \left ( z-\mathrm{\frac{1}{3}} \right )^{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{4}z^{n}}{\left [ z-\mathrm{\left ( \frac{1}{3} \right )} \right ]^{\mathrm{2}}} \right ]_{z\mathrm{\, =\,}\left ( \mathrm{1/3} \right )}\; \; \mathrm{\, =\,}\left [ \mathrm{4}nz^{n-\mathrm{1}} \right ]_{z\mathrm{\, =\,}\left ( \mathrm{1/3} \right )}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{4}n\left ( \mathrm{\frac{1}{3}} \right )^{n-\mathrm{1}}u\left ( n \right )}}$$
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