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法律研究訊號與系統 – 希爾伯特變換是什麼？
希爾伯特變換
當訊號所有正頻率譜分量的相位角移位 (-90°)，所有負頻率譜分量的相位角移位 (+90°) 時，得到的時域函式稱為給定訊號的希爾伯特變換。
在訊號的希爾伯特變換中，訊號的幅度譜不變，只有訊號的相位譜發生變化。此外，訊號的希爾伯特變換不改變訊號的定義域。
假設一個訊號 x(t) 的傅立葉變換為 X(ω)。x(t) 的希爾伯特變換透過 x(t) 與 (1/πt) 的卷積得到，即：
$$\mathrm{\hat{x}(t)=x(t)*(\frac{1}{\Pi\:t})}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\hat{x}(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau}$$
此外，
$$\mathrm{\hat{x}(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(t-\tau)}{\tau}d\tau}$$
這表明訊號 x(t) 的希爾伯特變換是一個線性運算。這個希爾伯特變換的定義適用於所有可進行傅立葉變換的訊號。
逆希爾伯特變換
從 $\hat{x}(t)$ 中恢復原始訊號 x(t) 的過程稱為逆希爾伯特變換。在數學上，它定義為：
$$\mathrm{x(t)=-\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hat{x}(\tau)}{t-\tau}d\tau}$$
函式 x(t) 和 $\hat{x}(t)$ 的方程一起稱為希爾伯特變換對。
解釋
由於訊號 x(t) 的希爾伯特變換 $\hat{x}(t)$ 是透過 x(t) 與 (1/πt) 的卷積得到的。因此，根據傅立葉變換的卷積性質，兩個時域函式的卷積可以轉化為它們在頻域中的傅立葉變換的乘積。
訊號 (1/πt) 的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{F=\left[\frac{1}{\pi\:t}\right]=-j\:sgn(\omega)}$$
其中，sgn(ω) 是頻域中的符號函式，定義為
$$\mathrm{sgn(\omega)=\left\{\begin{matrix} 1;\: \omega >0 \ -1;\: \omega <0 \ \end{matrix}\right.}$$
現在，$\hat{x}(t)$ 的傅立葉變換 $\hat{X}(ω)$ 由下式給出：
$$\mathrm{F[\hat{x}(t)]=\hat{X}(\omega)=-j\:sgn(\omega).X(\omega)}$$
這意味著，
$$\mathrm{\hat{X}(\omega)=\left\{\begin{matrix} -jX(\omega);\:\:\omega>0 \ jX(\omega) ;\:\:\omega<0 \end{matrix}\right.}$$
這個表示式表明，訊號 x(t) 的希爾伯特變換 $\hat{x}(t)$ 可以透過使 x(t) 透過一個傳遞函式為 [-j\:sgn(ω)] 的線性器件來獲得。這個線性器件可以被認為是為輸入訊號的所有正頻率產生 (-90°) 相移，為所有負頻率產生 (+90°) 相移的器件。
此外，訊號中所有頻率譜分量的幅度不受訊號透過器件傳輸的影響，即：
$$\mathrm{\left|\hat{X}(\omega)\right |=\left |X(\omega)\right|}$$
這種理想的器件稱為希爾伯特變換器。希爾伯特變換器可以看作是一個理想的全通 90° 移相器。希爾伯特變換器是非因果的，即它在物理上是不可實現的。
圖中顯示了希爾伯特變換器及其幅度響應和相位響應的圖形表示。
重要 - 低通訊號和高通訊號乘積的希爾伯特變換等於低通訊號與高通訊號的希爾伯特變換的乘積。因此，如果 x(t) 是低通訊號，y(t) 是高通訊號，則：
$$\mathrm{\widehat{x(t).y(t)}=x(t).\widehat{y(t)}}$$
希爾伯特變換的應用
希爾伯特變換主要應用於訊號處理、訊號分析與合成以及濾波器設計等領域。希爾伯特變換的一些主要應用如下：
希爾伯特變換用於表示帶通訊號。
希爾伯特變換用於在單邊帶 (SSB) 調製系統中實現相位選擇性。
希爾伯特變換還用於關聯線性通訊通道的增益和相位特性以及最小相位型別的濾波器。
數值例子
求給定訊號的希爾伯特變換：
$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0}t}$$
解決方案
給定訊號為：
$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0}t}$$
根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{F[sin\omega_{0}t]=X(\omega)=-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$
此外，x(t) 的希爾伯特變換的傅立葉變換為
$$\mathrm{F[\hat{x}(t)]=\hat{X}(\omega)=-j\:sgn(\omega).X(\omega)}$$
$$\mathrm{\therefore\hat{X}(\omega)=\left \{ -j\:sgn(\omega) \right \}\left \{-j\pi [\delta (\omega -\omega_{0})-\delta (\omega +\omega_{0})] \right \}}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\hat{X}(\omega)=-\pi [\delta (\omega -\omega_{0})-\delta (\omega +\omega_{0})]sgn(\omega)}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\hat{X}(\omega)=-\pi [\delta (\omega -\omega_{0})+\delta (\omega +\omega_{0})]}$$
因此，給定訊號的希爾伯特變換為
$$\mathrm{\hat{x}(t)=F^{-1}\left \{-\pi[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})] \right \}=-cos\omega_{0}t}$$
或者，它也可以表示為
$$\mathrm{\widehat{sin\omega_{0}t}=-cos\omega_{0}t}$$
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