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法律研究希爾伯特變換的性質
希爾伯特變換
當訊號所有正頻率譜分量的相位角移位(-90°)，所有負頻率譜分量的相位角移位(+90°)時，得到的時域函式稱為該訊號的**希爾伯特變換**。
訊號$\mathit{x\left(t\right)}$的希爾伯特變換透過$\mathit{x\left(t\right)}$與(1/πt)的卷積得到，即：
$$\mathrm{\mathit{\hat{x}\left(t\right)=x\left(t\right)*\left ( \frac{\mathrm{1}}{\mathit{\pi t}} \right )}}$$
希爾伯特變換的性質
希爾伯特變換的性質陳述和證明如下：
性質1
希爾伯特變換不改變訊號的定義域。
證明
假設一個訊號$\mathit{x\left(t\right)}$，它位於時域。$\mathit{x\left(t\right)}$的希爾伯特變換，即$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$，透過$\mathit{x\left(t\right)}$與.$\mathit{\left ( \frac{\mathrm{1}}{\pi t} \right )}$的卷積得到。因此，函式$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$也位於時域。所以，這證明了希爾伯特變換不改變訊號的定義域。
性質2
希爾伯特變換不改變訊號的幅度譜。
證明
$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$的傅立葉變換由下式給出：
$$\mathrm{\mathrm{\mathit{\hat{X}\left(\omega \right)}\mathrm{=}\mathit{-j}\:\mathrm{sgn}\left(\omega \right)\:X\left(\omega\right)}}$$
$$\mathrm{\mathit{\because\left | -j\:\mathrm{sgn}\left(\omega\right) \right |=\mathrm{1}}}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{\left | \hat{X}\left(\omega\right) \right |=\left | X\left(\omega\right)\right |}}$$
這證明了希爾伯特變換不改變訊號的幅度譜，即$\mathit{x\left(t\right)}$和$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$具有相同的幅度譜。
此外，函式$\mathit{x\left(t\right)}$和$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$具有相同的能量密度函式和相同的自相關函式。如果函式$\mathit{x\left(t\right)}$是帶限的，則其希爾伯特變換$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$也是帶限的。
性質3
訊號$\mathit{x\left(t\right)}$與其希爾伯特變換$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$相互正交。
證明
為了證明$\mathit{x\left(t\right)}$和$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$之間的正交性，我們需要證明：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\mathrm{0}}}$$
現在，根據瑞利能量定理，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}^{*}\left(t\right)\:dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left(\omega\right)\hat{X}^{*}\left(\omega\right)\:d\omega} }$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left(\omega\right)\left |j\: \mathrm{sgn}\left(\omega\right)\hat{X}^{*}\left(\omega\right) \right |\: d\omega }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\frac{j}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\mathrm{sgn}\left(\omega\right)\left | X\left(\omega \right)\right |^{\mathrm{2}}\:d\omega } }$$
由於函式$\mathit{\mathrm{\mathrm{sgn}}\left(\omega \right ) }$是奇函式，函式$\mathit{\left | X\left(\omega\right) \right |^{\mathrm{2}}}$是偶函式。因此，RHS上的積分等於零，即：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)\:\hat{x}\left(t\right)\:dt=\mathrm{0}}}$$
因此，這證明了$\mathit{x\left(t\right)}$和$\hat{x}(t)$在區間$(-\infty)$到$(\infty)$上相互正交。
性質4
如果$\mathit{x\left(t\right)}$的希爾伯特變換是$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$，則$\hat{x}(t)$的希爾伯特變換是$\mathit{\left [-x(t)\right ]}$。
證明
訊號$\mathit{x\left(t\right)}$的希爾伯特變換等效於將訊號$\mathit{x\left(t\right)}$透過一個傳遞函式等於$\mathit{\left [ -j\:\mathrm{sgn}\left(\omega\right) \right ]}$的器件。因此，$\mathit{x\left(t\right)}$的雙重希爾伯特變換等效於將$\mathit{x\left(t\right)}$透過級聯的此類器件。因此，這種級聯絡統的總傳遞函式為：
$$\mathrm{\mathit{\left [ -j\:\mathrm{sgn}\left(\omega\right) \right ]^{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}\left [ \mathrm{sgn}\left(\omega\right) \right ]^{\mathrm{2}}=-\mathrm{1}.\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{=}-\mathrm{1};\:\:\mathrm{for} \:\mathrm{all} \:\mathrm{frequencies}}}$$
因此，得到的輸出是$\mathit{\left [-x(t)\right ]}$，即$\mathit{\hat{x}\left(t\right)}$的希爾伯特變換是$\mathit{\left [-x(t)\right ]}$。
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