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法學Z變換的性質
Z變換
Z變換是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。數學上，離散時間訊號或序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$
Z變換的性質
下表重點介紹了Z變換的一些重要性質：
| 性質 | 時域 | z域 | 收斂域 (ROC) |
|---|---|---|---|
| 記號 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}}$ |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}}$ | |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ | |
| 線性與疊加 | $\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}}$ | $\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}\:\cap \mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ |
| 時移 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{z}^{-\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{與}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{相同，除了}\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$ |
| $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathit{k}}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{z}^{\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{與}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{相同，除了}\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\infty}$ | |
| z域縮放 | $\mathrm{\mathit{a}^{\mathit{n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}\right )}}$ | $\mathrm{\left|\mathit{a}\right|\mathit{R}_{\mathrm{1}}<\left|\mathit{z}\right|<\left|\mathit{a}\right|\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ |
| 時間反轉 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{-n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}$ | $\mathrm{\mathrm{\left(\frac{1}{\mathit{R}_{\mathrm{2}}}\right)}<\left| \mathit{z}\right|<\mathrm{\left(\frac{1}{\mathit{R}_{\mathrm{1}}}\right)}}$ |
| 時間擴充套件 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\frac{\mathit{n}}{\mathit{k}}\right )}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}^{\mathit{k}}\right)}}$ | |
| 共軛 | $\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{z}^{*}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}<\left|\mathit{z} \right|<\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ |
| 卷積 | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} * \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{至少}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}}\cap \mathit{R}_{\mathrm{2}}$ |
| 相關性 | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathit{x}_{\mathrm{2}}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \bigotimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}$ | $\mathrm{至少}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}}\cap \mathit{R}_{\mathrm{2}}$ |
| 乘法 | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\frac{1}{2\mathit{\pi j}}\oint_{c}^{}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( v\right )}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\frac{\mathit{z}}{\mathit{v}}\right)}\mathit{v}^{\mathrm{-1}}\:\mathit{dv}}$ | $\mathrm{至少}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}} \mathit{R}_{\mathrm{2}}<\left| \mathit{z}\right|<\mathit{R}_{\mathrm{1}\mathit{u}}\mathit{R}_{\mathrm{2}\mathit{u}}$ |
| z域微分 | $\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{-z}\frac{\mathit{d}}{\mathit{dz}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}<\left|\mathit{z}\right|<\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$ |
| 累加 | $\mathrm{\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\mathit{n}}\: \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}}$ | $\mathrm{\frac{1}{\mathrm{\left( \mathrm{1-}\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | |
| 帕塞瓦爾定理 | $\mathrm{\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\mathit{\infty}}\: \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\frac{1}{2\mathit{\pi j}}\oint_{c}^{}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( v\right )}\mathit{X}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathit{v}^{*}}\right)}\mathit{v}^{\mathrm{-1}}\:\mathit{dv}}$ | |
| 初始值定理 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{\mathrm{0}}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$ | |
| 終值定理 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{\mathit{\infty }}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to \infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to 1}\mathrm{\left ( \mathit{z-\mathrm{1}} \right)}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \mathrm{如果\left ( \mathit{z-\mathrm{1}} \right )}\:\mathrm{在單位圓上或單位圓外沒有極點。}}$ |
更新於：2022年1月11日
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