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法律研究指數函式的Z變換
Z變換 (ZT) 是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。
數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一個離散時間訊號或序列，則其雙邊或雙側Z變換定義為−
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
其中，z是一個復變數。
此外，單邊或單側z變換定義為−
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
衰減指數序列的Z變換
衰減因果復指數函式定義為−
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}e^{-j\,\omega n}u\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\begin{Bmatrix} e^{-j\,\omega n}& \mathrm{for\: \mathit{n}\geq 0} \ \mathrm{0} & \mathrm{for\: \mathit{n}< 0}\ \end{Bmatrix} }}$$
因此，衰減指數函式的Z變換為−
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z\left [ e^{-j\, \omega n}\, u\left ( n \right ) \right ] }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }e^{-j\, \omega n}\,z^{-n}\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left ( e^{-j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right )^{n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1}\mathrm{\, +\,}\left ( e^{-j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right )\mathrm{\, +\,}\left ( e^{-j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right )^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\left ( e^{-j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right )^{\mathrm{3}}\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \mathrm{1}-\left ( e^{-j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right ) \right ]^{\mathrm{-1}} }}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z\left [ e^{-j\, \omega n}\, u\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-\left ( e^{-j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right ) \right ]}\mathrm{\, =\,}\frac{z}{\left ( z-e^{-j\, \omega } \right )} }}$$
此級數在 |𝑍−1| < 1 時收斂。因此，衰減指數序列的Z變換的收斂域 (ROC) 為 |𝑧| > 1。因此，衰減復指數序列及其收斂域的Z變換可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{e^{-j\, \omega n}\, u\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow} \frac{z}{\left ( z-e^{-j\, \omega } \right )};\; \; }ROC\rightarrow \left|\mathit{z} \right|> 1}$$
增長指數序列的Z變換
增長因果復指數函式定義為−
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}e^{j\, \omega n}u\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}\begin{Bmatrix} e^{j\, \omega n}& \mathrm{for\: \mathit{n}\geq 0} \ \mathrm{0} & \mathrm{for\: \mathit{n}< 0}\ \end{Bmatrix} }}$$
增長指數序列的Z變換如下所示：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z\left [ e^{j\, \omega n}\, u\left ( n \right ) \right ] }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }e^{j\, \omega n}\,z^{-n}\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left ( e^{j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right )^{n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1}\mathrm{\, +\,}\left ( e^{j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right )\mathrm{\, +\,}\left ( e^{j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right )^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\left ( e^{j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right )^{\mathrm{3}}\mathrm{\, +\,}\cdot \cdot \cdot }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \mathrm{1}-\left ( e^{j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right ) \right ]^{\mathrm{-1}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z\left [ e^{j\, \omega n}\, u\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\frac{\mathrm{1}}{\left [ \mathrm{1}-\left ( e^{j\, \omega}\,z^{-\mathrm{1}} \right ) \right ]}\mathrm{\, =\,}\frac{z}{\left ( z-e^{j\, \omega } \right )} }}$$
增長因果復指數序列的Z變換的收斂域 (ROC) 為 |𝑧| > |1|。因此，衰減復指數序列及其收斂域的Z變換可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{e^{j\, \omega n}\, u\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow} \frac{z}{\left ( z-e^{j\, \omega } \right )};\; \; }ROC\rightarrow \left|\mathit{z} \right|> \left|1 \right|}$$
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