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法學Z變換的指數序列乘法性質
Z變換
Z變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一個離散時間函式，則其Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
Z變換的指數序列乘法性質
說明 - Z變換的指數乘法性質指出，時間域中乘以指數序列對應於z域中的縮放。指數乘法性質也稱為Z變換的z域縮放性質。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}}$$
那麼，根據指數乘法性質，
$$\mathrm{\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}}\right)};\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\left| \mathit{a}\right|\mathit{R}}$$
其中，*a* 是一個複數。
證明
根據Z變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\frac{\mathit{z^{\mathit{-n}}}}{\mathit{a^{\mathit{-n}}}}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{\mathit{a}} \right )}^{-\mathit{n}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{\mathit{a}} \right )}}$$
也可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}}\right)};\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\left| \mathit{a}\right|\mathit{R}}$$
重要 -
如果給定的時間域序列乘以一個增長指數序列，即$\mathit{e}^{j\omega n}$，則
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{e}^{\mathit{j\omega n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]} \:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{z}}{\mathit{e}^{\mathit{j\omega }}} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left( \mathit{e}^{-\mathit{j}\omega }\mathit{z}\right )}}$$
如果給定的時間域序列乘以一個衰減指數序列，即$\mathit{e}^{-j\omega n}$，則
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{e}^{\mathit{-j\omega n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]} \:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{z}}{\mathit{e}^{\mathit{-j\omega }}} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left( \mathit{e}^{\mathit{j}\omega }\mathit{z}\right )}}$$
數值例子 (1)
利用Z變換的指數乘法性質，求下列訊號的Z變換
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathrm{\left( 2\right )}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
解答
給定的序列是：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathrm{\left( 2\right )}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
由於單位階躍函式的Z變換為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-1};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>1}$$
現在，利用z域縮放或指數性質$\mathrm{\left [ i.e,\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}}\right)} \right ]}$的Z變換，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left ( 2 \right )}^{\mathrm{\mathit{n}}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}_{\mathit{z=\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{2} \right )}}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{2} \right )}}{\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{2} \right )}-1}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left ( 2 \right )}^{\mathrm{\mathit{n}}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-2};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>2}$$
數值例子 (2)
利用Z變換的z域縮放性質，求下列訊號的Z變換
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathrm{\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
解答
給定的序列是：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathrm{\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
由於單位階躍序列的Z變換為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-1};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>1}$$
現在，根據指數乘法性質$\mathrm{\left [ i.e,\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}}\right)} \right ]}$，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}^{\mathrm{\mathit{n}}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}_{\mathit{z=\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{\frac{1}{2}} \right ]}}=2\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{2\mathit{z}}{\mathrm{2}\mathit{z}-1}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}^{\mathrm{\mathit{n}}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-\frac{1}{2}} \right )};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{2}}$$
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