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法律Z 變換的卷積性質
Z 變換
Z 變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。
數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間函式，則其 Z 變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
Z 變換的時間域卷積性質
陳述 - Z 變換的時間域卷積性質指出，兩個離散時間序列卷積的 Z 變換等於其 Z 變換的乘積。因此，如果：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{1}}$$
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{2}}$$
那麼，根據卷積性質：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}}\cap\mathit{R}_{\mathrm{2}} }$$
證明
兩個序列的卷積定義為：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$
現在，根據 Z 變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-n}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left [\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\mathit{z}^{-n}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)} \right ]}\mathit{z}^{-n}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\mathit{z}^{-k}\mathit{z}^{-\mathrm{\left ( \mathit{n-k} \right )}}}$$
重新排列求和順序，我們得到：
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{z}^{-k}\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\mathit{z}^{-\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}}$$
在第二個求和中用 $\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{m}$ 替換，我們有：
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{k}}\sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{z}^{-\mathrm{ \mathit{m}}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
或者也可以表示為
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}_{\mathrm{1}}\cap\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$$
數值示例
使用 Z 變換的卷積性質，求以下訊號的 Z 變換。
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
解決方案
給定訊號為：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
令
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
取 Z 變換，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\right )}};\:\mathrm{ROC} \rightarrow \left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{3}}$$
類似地，
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}}\right )}};\:\mathrm{ROC} \rightarrow \left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{5}}$$
現在，使用 Z 變換的卷積性質 $\mathrm{\left [ i.e.,\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \right ]}$，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\right )}}\frac{\mathit{z}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}}\right )}}}$$
給定序列的 Z 變換的收斂域為
$$\mathrm{\mathrm{ROC}\rightarrow \mathrm{\left [ \left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{3} \right]}\cap \mathrm{\left [ \left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{5} \right]}\:\mathrm{=}\:\left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{3}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathrm{\left(\frac{1}{3} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathrm{\left(\frac{1}{5} \right)}^{\mathit{n}}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left ( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \right )}\mathrm{\left ( \mathit{z-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}} \right )}};\:\mathrm{ROC}\to\:\left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{3}}$$
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