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法律研究Z 變換的相關性
Z 變換
Z 變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。
數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間函式，則其 Z 變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
Z 變換的相關性
說明 - Z 變換的相關性指出，如果：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
那麼
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}$$
其中
$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{12}}\mathrm{\left ( \mathit{n} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
證明
根據 Z 變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}\mathit{z}^{-n}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
兩個訊號的相關性定義為：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
因此，根據公式 (1) 和 (2)，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)} \right ]}\mathit{z}^{-n}$$
重新排列求和順序，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\mathit{z}^{-n} \right ]}}$$
現在，在第二個求和中將 $\mathrm{\left ( \mathit{k-n} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{m}\:\mathrm{and}\:\mathit{n}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left ( \mathit{k-m} \right )}$ 代入，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{z}^\mathrm{-\left(\mathit{k-m}\right)} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{z}^\mathrm{\mathit{-k}}\mathit{z}^\mathrm{\mathit{m}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[ \sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{z}^{-k}\right ]}\mathrm{\left [ \sum_{\mathit{m=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{m}\right)}\mathit{z}^\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)-\mathit{m}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{\mathrm{-1}}\right)}}$$
此外，它可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}$$
數值示例
使用 Z 變換的相關性，求 $\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}$ 的 Z 變換，其中：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega n}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
解決方案
給定的序列是：
$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega n}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
這兩個序列的 Z 變換為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathrm{sin}\:\mathit{\omega n}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\mathrm{sin}\:\mathit{\omega}}{\mathit{z}^{\mathrm{2}}-2\mathit{z}\mathrm{cos}\:\mathit{\omega}\mathrm{+1}}}$$
以及
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathit{z-\mathrm{1}}}}$$
現在，使用 Z 變換的相關性 $\mathrm{\left [ i.e,\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)} \right ]}$，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathit{z}\mathrm{sin}\:\mathit{\omega}}{\mathit{z}^{\mathrm{2}}-2\mathit{z}\mathrm{cos}\:\mathit{\omega}\mathrm{+1}}\right ]}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{\mathit{z-\mathrm{1}}} \right ]}_{\mathit{z=z^{-\mathrm{1}}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\mathrm{\left[\frac{\mathit{z}\mathrm{sin}\:\mathit{\omega}}{\mathit{z}^{\mathrm{2}}-2\mathit{z}\mathrm{cos}\:\mathit{\omega}\mathrm{+1}}\right ]}\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z^{-\mathrm{1}}}}{\mathit{z^{-\mathrm{1}}-\mathrm{1}}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left [ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\mathrm{sin}\:\mathit{\omega}}{\mathrm{\left ( \mathit{z}^{\mathrm{2}}-2\mathit{z}\mathrm{cos}\:\mathit{\omega}\mathrm{+1} \right )}\mathrm{\left ( 1-\mathit{z} \right )}}}$$
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