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法學什麼是Z變換？
什麼是Z變換？
Z變換 (ZT) 是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。
Z變換是分析線性移不變(LSI) 系統的非常有用的工具。LSI離散時間系統由差分方程表示。為了求解這些時域中的差分方程，首先使用Z變換將其轉換為z域中的代數方程，然後在z域中操作代數方程，最後使用逆Z變換將獲得的結果轉換回時域。
Z變換可以分為兩種型別：**單邊(或單側)**和**雙邊(或雙側)**。
數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一個離散時間訊號或序列，則其雙邊或雙側Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]=X\left ( z \right )=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
其中，z是一個復變數，由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{z\mathrm{\, =\,}r\, e^{j\, \omega }}}$$
其中，r是圓的半徑。
此外，單邊或單側z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
單邊或單側z變換非常有用，因為我們主要處理因果序列。此外，它主要適用於求解具有初始條件的差分方程。
Z變換的收斂域 (ROC)
在z平面上，使離散時間序列$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$的Z變換$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$收斂的點集稱為Z變換$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$的收斂域(ROC)。
對於任何給定的離散時間序列，Z變換可能收斂也可能不收斂。如果在z平面上沒有一點使函式$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$收斂，則稱該序列$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$沒有z變換。
Z變換的優點和缺點
以下是Z變換的**優點**：
Z變換透過將描述系統的差分方程轉換為簡單的線性代數方程，使離散時間系統的分析更容易。
時域中的卷積運算轉換為z域中的乘法運算。
對於離散時間傅立葉變換(DTFT)不存在的訊號，Z變換存在。
**侷限性**——Z變換的主要侷限性在於，使用Z變換無法獲得頻域響應，也無法繪製頻域響應圖。
數值示例
求解下列序列的Z變換：
$$\mathrm{\mathit{y\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right )}}$$
解答
給定的離散時間序列是：
$$\mathrm{\mathit{y\left ( n \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right )}}$$
根據Z變換的定義，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ y\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}Z\left [ x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right ) \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left [ x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )u\left ( n \right ) \right ]z^{-n}\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( n\mathrm{\, +\,}\mathrm{3} \right )z^{-n}}}$$
令(𝑛 + 3) = 𝑚，則𝑛 = (𝑚 − 3)，
$$\mathrm{\mathit{\therefore Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{m\mathrm{\, =\,}\mathrm{3}}^{\infty }x\left ( m \right )z^{-\left ( m-\mathrm{3} \right )}\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{3}}\left [ \sum_{m\mathrm{\, =\,}\mathrm{3}}^{\infty }x\left ( m \right )z^{-m} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{3}}\left [ \sum_{m\mathrm{\, =\,}\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( m \right )z^{-m}-x\left ( \mathrm{0} \right )-x\left ( \mathrm{1} \right )z^{\mathrm{-1}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Y\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{3}}X\left ( z \right )-z^{\mathrm{3}}x\left ( \mathrm{0} \right )-z\, x\left ( \mathrm{1} \right )}}$$
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