資料結構
網路
關係資料庫管理系統 (RDBMS)
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
時尚研究
法律研究Z 變換的終值定理
Z 變換
Z 變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。在數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間函式，則其 Z 變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
Z 變換的終值定理
Z 變換的終值定理使我們能夠直接從其 Z 變換計算序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的穩態值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\infty}\right)}$，而無需求其反 Z 變換。
**陳述** - 如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個因果序列，則 Z 變換的終值定理指出，如果：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
並且如果 Z 變換 X(z) 在單位圓外沒有極點，並且在以 z 平面原點為中心的單位圓上沒有更高階的極點，則：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{\infty }\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to \infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to 1 }\mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
證明
從因果序列的 Z 變換定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
以及
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathrm{1}}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\mathrm{=}\:\mathit{z}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathrm{1}}\right)}\right]}-\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{\mathit{-n}}}-\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathrm{1}}\right)}\right]}-\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{z}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}-\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathit{n}+1\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{1}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\right]}\mathit{z^{\mathrm{0}}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{2}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{3}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:...}$$
現在在兩邊取極限 $\mathit{z}\to 1$，我們得到：
$$\mathrm{\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}-\mathit{z}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left\{\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{1}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\right]}\mathit{z^{\mathrm{0}}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{2}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left( \mathrm{3}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\right]}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:... \right\}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right ]}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}-\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(\infty-1\right)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right ]}-\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}-\mathit{x}\mathrm{\left(0\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right ]}}$$
數值示例 (1)
如果 X(z) 由下式給出，求 $\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}$：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{0.3}}\right )}}}$$
解答
序列的給定 Z 變換為：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{0.3}}\right )}}}$$
現在，使用 Z 變換的終值定理 $\mathrm{\left [ i.e,\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[ \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right ]} \right ]}$，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left(\mathit{z-\mathrm{1}}\right)}\mathrm{\left[\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{0.3}}\right )}}\right]}\:\mathrm{=}\:\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{\left( \mathit{z-\mathrm{0.3}}\right )}}\right]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\left( \mathrm{1-\mathrm{0.3}}\right )}}\right]}\:\mathrm{=}\:1.43}$$
數值示例 (2)
使用終值定理，計算如果 X(z) 由下式給出，則 $\mathit{x}\mathrm{\left(\infty\right)}$：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}+1}{\mathrm{3\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z\mathrm{+}\mathrm{0.4}}\right )}}}$$
解答
序列的給定 Z 變換為：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}+1}{\mathrm{3\left (\mathit{z}-1 \right )}\mathrm{\left( \mathit{z\mathrm{+}\mathrm{0.4}}\right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}+1}{\mathrm{3\mathrm{\left( \mathit{z\mathrm{+}\mathrm{0.4}}\right )}}}}$$
我們可以看到，$\mathrm{\left ( z-1 \right )}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 在單位圓上或單位圓外沒有極點。因此，使用 Z 變換的終值定理，我們有：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\infty}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to 1}\mathrm{\left[\frac{\mathit{z}+1}{3\mathrm{\left ( \mathit{z}+0.4\right )}} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathrm{1}+1}{3\mathrm{\left(\mathrm{1}+0.4\right )}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\infty}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathrm{2}}{3\times 1.4} \right ]}\:\mathrm{=}\:0.48}$$
16K+ 瀏覽量
