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法律研究帕塞瓦爾定理與傅立葉變換的帕塞瓦爾恆等式
傅立葉變換
對於連續時間函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$，$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的傅立葉變換可以定義為：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt }}$$
而逆傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega }} $$
傅立葉變換的帕塞瓦爾定理
陳述 - 帕塞瓦爾定理指出，訊號 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 在時域中的能量 [如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是非週期的] 或功率 [如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是週期的] 等於其在頻域中的能量或功率。
因此，如果：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\;and \;x_{\mathrm{2}} \left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right )}}$$
那麼，傅立葉變換的帕塞瓦爾定理指出：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )X_{\mathrm{2}}^{*}\left ( \omega \right )d\omega}} $$
其中，$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )}}$ 和 $\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )}}$ 是複函式。
證明
帕塞瓦爾關係由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )X_{\mathrm{2}}^{*}\left ( \omega \right )d\omega}}$$
根據逆傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{LHS \mathrm{=} \mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega \right ]x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt}} $$
透過交換上述表示式右側積分的順序，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )e^{j\omega t}dt \right ]d\omega }}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt \right ]^{*}d\omega }}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )x_{\mathrm{2}}^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )X_{\mathrm{2}}^{*}\left ( \omega \right )d\omega \mathrm{=}\mathrm{RHS}}}$$
傅立葉變換的帕塞瓦爾恆等式
傅立葉變換的帕塞瓦爾恆等式指出，訊號 $\mathit{x\left ( t \right )}$ 的能量含量由下式給出：
$$\mathrm{ \mathit{E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\left | x\left ( t \right ) \right |^{\mathrm{2}}dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\left | X\left ( \omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}d\omega}}$$
帕塞瓦爾恆等式也稱為能量定理或瑞利能量定理。
量 $\mathrm{\mathit{\left [ \left | X\left ( \omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}\right ]}}$ 稱為訊號 $\mathit{x\left ( t \right )}$ 的能量密度譜。
證明
如果 $\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( t \right )}}$ = $\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{2}}\left ( t \right )}}$ = $\mathit{x\left ( t \right )}$; 則訊號的能量由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )x^{*}\left ( t \right )dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )X^{*}\left ( \omega \right )d\omega}}$$
$$\mathrm{\mathit{\because x\left ( t \right )x^{*}\left ( t \right )\mathrm{=}\left |x\left ( t \right ) \right |^{\mathrm{2}}\: \: and\: \: X\left ( \omega \right )X^{*}\left ( \omega \right )\mathrm{=}\left |X\left ( \omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}}}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\left | x\left ( t \right ) \right |^{\mathrm{2}}dt\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\left | X\left ( \omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}d\omega\; \; \; \; \mathrm{\left ( 證畢 \right )}}}$$
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