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法學連續時間傅立葉級數中的帕塞瓦爾定理
傅立葉級數
如果$x(t)$是一個週期為$T$的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$
其中，$C_{n}$是指數傅立葉級數係數，由下式給出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{-jn\omega_{0} t}\:dt… (2)}$$
帕塞瓦爾定理和帕塞瓦爾恆等式
設$x_{1}(t)$和$x_{2}(t)$是兩個具有周期T的復週期函式，其傅立葉級數係數分別為$C_{n}$和$D_{n}$。
如果：
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}D_{n}}$$
那麼，連續時間傅立葉級數的**帕塞瓦爾定理**指出：
$$\mathrm{\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt =\sum_{n=−\infty}^{\infty} C_{n}\:D_{n}^{*}\:[對複數\: x_{1}(t)\: \& \: x_{2}(t)] … (3)}$$
而傅立葉級數的**帕塞瓦爾恆等式**指出，如果
$$\mathrm{x_{1}(t)=x_{1}(t)=x(t)}$$
那麼：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^{2}\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}|C_{n}|^{2}… (4)}$$
證明——帕塞瓦爾定理或帕塞瓦爾關係式或帕塞瓦爾性質
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:D_{n}^{*}… (5)}$$
根據傅立葉級數的定義，我們有：
$$\mathrm{等式(5)的左側=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt}$$
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\left ( \sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t} \right )x_{2}^{*}(t)\:dt… (6)}$$
重新排列等式(6)右側的積分和求和順序，我們得到：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{2}^{*}(t)e^{jn\omega_{0} t}\:dt \right )}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{1}{T}\int_{0}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{2}(t)e^{-jn\omega_{0} t}\:dt \right )^{*}… (7)}$$
將等式(7)與等式(2)進行比較，我們可以寫成：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:D_{n}^{*}… (8)\:\:(證畢)}$$
證明——帕塞瓦爾恆等式
如果：
$$\mathrm{x_{1}(t)=x_{2}(t)=x(t)}$$
然後，帕塞瓦爾關係式變為：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:x^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:C_{n}^{*}… (9)}$$
$$\mathrm{\because\:x(t)\:x^{*}(t)=|x(t)|^{2}\:and\:C_{n}\:C_{n}^{*}=|C_{n}|^{2}}$$
現在，將這些值代入等式(9)，我們得到：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^{2}\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}|C_{n}|^{2}… (10) \:\:(證畢)}$$
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