資料結構
網路
RDBMS
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
時尚研究
法律研究傅立葉級數——表示和性質
讓·巴蒂斯特·約瑟夫·傅立葉開發了一種適用於各種工程問題、用於分析非正弦波形的技術。很多時候，時域中所有可用的資訊不足以進行電路分析，因此我們需要將訊號轉換到頻域以提取有關訊號的更多資訊。傅立葉級數是一種用於將訊號從時域轉換為頻域的工具。在傅立葉級數中，訊號分解為諧波相關的正弦函式。
頻域分析
週期性訊號可以分解為諧波相關的正弦函式或復指數函式的線性加權和，這些函式稱為傅立葉級數。透過將訊號分解成與頻率相關的分量來進行訊號分析稱為頻域分析。
傅立葉級數只能用於表示滿足狄利克雷條件的那些週期性訊號。
狄利克雷條件
函式f(t)可以在任何週期 t 上絕對積分，如果
f(t)在週期 (t) 的任何有限區間內具有有限個最大值和最小值。
f(t)在週期 (t) 的任何有限區間內具有有限個不連續點，並且這些不連續點中的每一個都是有限的。
傅立葉級數表示
傅立葉級數有兩種型別，兩者都是等價的。根據訊號型別，選擇最方便的表示。
傅立葉級數的指數形式
傅立葉級數的三角形式
傅立葉級數的指數形式
J. B. J.傅立葉證明了一個週期函式 f (t) 可以表示為一個正弦函式的和。根據傅立葉表示法，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty M_{n}\cos(n\omega_{0}t+\theta_{n})$$
其中 $\omega_{0}=\frac{2\Pi}{T_{0}^{\prime}}$
T0是時間週期，當 n = 1 時，一個週期覆蓋 T0 秒，而 $M_{1}\cos(\omega_{0}t+\theta_{1})$稱為基波。當 n = 2 時，T0表示 T0 秒內的兩個週期，而 $M_{2}\cos(2\omega_{0}t+\theta_{2})$被稱為第 2次諧波。同樣，對於 n = K，K 個週期落在 T0 秒內，而 $M_{K}\cos(K\omega_{0}t+\theta_{K})$是第 K次諧波項。
因此，透過使用尤拉恆等式，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty\
eq\:0}^\infty C_{n}e^{jn\omega_{0}t}$$
其中，Cn = 複數傅立葉係數，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}\cos(n\omega_{0}t)+b_{n}\sin(nw_{0}t)$$
傅立葉係數由以下表達式定義，
$$C_{n}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:...(1)$$
表示式 (1) 表示傅立葉級數的指數形式。
傅立葉級數的三角形式
可以很容易地從指數形式中匯出傅立葉級數的三角形式。週期訊號 f (t) 的三角傅立葉級數表示，基本時間週期為 T0，由下式給出，
$$f(t)=a_{0}+\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty (a_{n}\cos\:n\omega_{0}t+b_{n}\sin\:n\omega_{0}t)$$
其中，$\omega_{0}=\frac{2\Pi}{T_{0}}$，由 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 給出的傅立葉係數為，
$$a_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)\cos(n\omega_{0}t)dt$$
$$a_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt$$
a0是波形的平均值，可以直接從波形中計算得出，由以下公式給出，
$$a_{0}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{1}}^{t_{1}+T_{0}}f(t)dt$$
傅立葉級數的性質
如果f(t)是偶函式，即f(-t) = f(t)，則
$$a_{0}=\frac{2}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)dt\:,$$
$$a_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)dt\cos(n\omega_{0}t)dt\:,$$
$$b_{n}=0$$
如果 f(t) 是奇函式，即f(-t) = - f(t)，則
$$a_{0}=0$$,
$$a_{n}=0$$,
$$b_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt\:,$$
如果 f(t) 是半波對稱函式，即 $f(t)==f(t-\frac{T_{0}}{2})$，則
當 n 為偶數時，
$$a_{0}=0$$,
$$a_{n}=b_{n}=0$$,
當 n 為奇數時，
$$a_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)\cos(n\omega_{0}t)dt\:,$$,
$$b_{n}=\frac{4}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}/2}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt$$
傅立葉級數性質的總結
對於偶函式，其傅立葉級數的所有項都是餘弦項。沒有正弦項。但是，該函式確實有平均值 a0
對於奇函式，該級數僅包含正弦項。無平均值和餘弦項。
如果給定函式為半波對稱函式，則級數中僅存在奇次諧波，當 n 為奇數時，級數將同時包含正弦項和餘弦項。平均值為零。
4K+ 瀏覽次數
