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法律研究連續時間傅立葉級數的時移、時間反轉和時間尺度特性
傅立葉級數
如果 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$
其中，$C_{n}$ 是指數傅立葉級數係數，由下式給出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt… (2)}$$
傅立葉級數的時移特性
設 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 且傅立葉級數係數為 $C_{n}$ 的週期函式。那麼，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
則連續時間傅立葉級數的時移特性指出：
$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0} t_{0}}C_{n}}$$
證明
根據連續時間傅立葉級數的定義，我們得到：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}…(3)}$$
在公式 (3) 中用 $(t− t_{0})$ 替換 $t$，我們得到：
$$\mathrm{x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}(t− t_{0})}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t− t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}… (4)}$$
$$\mathrm{∵\:\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}]… (5)}$$
根據公式 (4) 和 (5)，我們得到：
$$\mathrm{x(t− t_{0})\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}\:\:(證畢)}$$
傅立葉級數的時間反轉特性
設 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 且傅立葉級數係數為 $C_{n}$ 的週期函式。那麼，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼，連續時間傅立葉級數的時間反轉特性指出：
$$\mathrm{x(-t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{-n}}$$
證明
根據連續時間傅立葉級數的定義，我們得到：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (6)}$$
在公式 (6) 中用 $(−t)$ 替換 $t$，我們得到：
$$\mathrm{x(-t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} (-t)}… (7)}$$
在公式 (7) 的右邊將 $(n = −k)$ 代入，我們得到：
$$\mathrm{x(-t)=\sum_{k=−\infty}^{-\infty}C_{-k}e^{j(-k)\omega_{0}(-t)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(-t)=\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{-k}e^{jk\omega_{0}t}… (8)}$$
現在，在公式 (8) 中將 $(k= n)$ 代入，我們得到：
$$\mathrm{x(-t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{-k}e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[C_{-n}]}$$
$$\mathrm{\therefore\:x(-t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{-n}\:\:(證畢)}$$
傅立葉級數的時間尺度特性
設 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 且傅立葉級數係數為 $C_{n}$ 的週期函式。那麼，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼，連續時間傅立葉級數的時間尺度特性指出：
$$\mathrm{x(at)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:with\:\omega_{0}\rightarrow\:a\omega_{0}}$$
證明
根據連續時間傅立葉級數的定義，我們得到：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (9)}$$
在公式 (9) 中用 $(at)$ 替換 $t$，我們得到：
$$\mathrm{x(at)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} at}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(at)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn(a\omega_{0}) t}=FS^{-1}[C_{n}]… (10)}$$
因此，
$$\mathrm{x(at)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:with\:\omega \rightarrow a\omega_{0}\:\:(證畢)}$$
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