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法律研究拉普拉斯變換的時間尺度和頻移特性
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或s域中的代數方程。
數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
公式 (1) 給出了函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的雙邊拉普拉斯變換。但是對於因果訊號，應用單邊拉普拉斯變換，其定義為：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
拉普拉斯變換的時間尺度特性
陳述 - 拉普拉斯變換的時間尺度特性指出，如果：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
那麼
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left|\mathit{a}\right|}\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}}\right )}}$$
證明
根據拉普拉斯變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$
如果 $\mathit{t}\to \mathit{at}$，則
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$
將 at = p 代入上述方程的 RHS，則
$$\mathrm{\mathit{t}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{p}}{\mathit{a}}\:\mathrm{and}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{a}}\:\mathit{dp}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{p}\right)}\mathit{e}^{-\mathrm{\left ( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}} \right )\mathit{p}}}\:\frac{\mathit{dp}}{\mathit{a}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{a}}\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{p}\right)}\mathit{e}^{-\mathrm{\left ( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}} \right )\mathit{p}}}\:\mathit{dp}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{a}}\mathit{X}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}} \right )}}$$
拉普拉斯變換的這種表示式對因子 a 的所有值均有效。因此，可以寫成
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\left|\mathit{a}\right|}\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}}\right )}}$$
或者也可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\:\frac{1}{\left|\mathit{a}\right|}\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}}\right )}}$$
因此，它證明了拉普拉斯變換的時間尺度特性。
拉普拉斯變換的頻移特性
陳述 - 拉普拉斯變換的頻移特性指出，乘以復指數 $\mathit{e^{-at}}$ 會在 s 域中引入 'a' 的偏移。因此，如果：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
那麼，根據頻移特性，
$$\mathrm{\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\mathrm{+} \mathit{a}\right)}}$$
證明
根據拉普拉斯變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{s}\mathrm{+}\mathit{a}\right)}}$$
或者也可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{s}\mathrm{+}\mathit{a}\right)}}$$
類似地，如果函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 乘以復指數 $\mathit{e^{at}}$𝑡，則
$$\mathrm{\mathit{e^{at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left (\mathit{s}\mathit{a}\right)}}$$
數值示例
利用拉普拉斯變換的性質，求函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e}^{-\mathrm{6\mathit{t}}}\:\mathrm{sin\:20}\mathit{at\:u\mathrm{\left (\mathit{t}\right)}}$ 的拉普拉斯變換。
解答
給定訊號為：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e}^{-\mathrm{6\mathit{t}}}\:\mathrm{sin\mathrm{\left( \mathrm{20\mathit{at}}\right)}}\mathit{u}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}}$$
$$\mathrm{\because \mathit{L}\mathrm{\left[\mathrm{sin\:\mathit{at\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t} \right )}}}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{a}}{\mathit{s^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathit{a^{\mathrm{2}}}}}}$$
現在，利用拉普拉斯變換的時間尺度特性 $\mathrm{\left[ \mathrm{i.e.,}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{at}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left|\mathit{a} \right|}\mathit{X}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{s}}{\mathit{a}}\right)}\right]}$，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[ \mathrm{sin}\mathrm{\left ( 20\mathit{at} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t} \right )}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\left|\mathrm{20} \right|}\mathit{L}\mathrm{\left [ \mathrm{sin}\mathit{at\:u\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{20}\mathrm{\left[ \frac{\mathit{a}}{\mathrm{\left ( \frac{\mathit{s}}{\mathrm{20}} \right )^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\mathit{a^{\mathrm{2}}}}\right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{L}\mathrm{\left[ \mathrm{sin}\mathrm{\left ( 20\mathit{at} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t} \right )}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{20\mathit{a}}{\mathit{s^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{\left ( \mathrm{20\mathit{a}} \right)^{\mathrm{2}}}}}}$$
利用拉普拉斯變換的頻移特性 $\mathrm{\left[ \mathrm{i.e,}\:\mathit{e^{-at}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left( \mathit{s\mathrm{+}\mathit{a}}\right )}\right ]}$，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{-\mathrm{6\mathit{t}}}} \mathrm{sin}\mathrm{\left ( 20\mathit{at} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t} \right )}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left[\frac{\mathrm{20\mathit{a}}}{\mathit{s^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\mathrm{\left ( \mathrm{20\mathit{a}}\right)}^{\mathrm{2}}}\right]}_{\mathit{s=s\mathrm{+}\mathrm{6}}}\:\mathrm{=}\:\frac{20\mathit{a}}{\mathrm{\left ( \mathit{s}\mathrm{+}\mathrm{6}\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{\left(20\mathit{a} \right)}^{\mathrm{2}}}}$$
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