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法學傅立葉變換的線性性和頻移特性
傅立葉變換
對於連續時間函式 $x(t)$，傅立葉變換可以定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
傅立葉變換的線性特性
說明 - 傅立葉變換的線性特性指出，兩個訊號的加權和的傅立葉變換等於它們各自傅立葉變換的加權和。
因此，如果
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1}(\omega)\:\:and\:\:x_{2}\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2}(\omega)}$$
那麼，根據傅立葉變換的線性特性，
$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
其中，a 和 b 是常數。
證明
根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}ax_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+\int_{−\infty}^{\infty}bx_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=a\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+b\int_{−\infty}^{\infty}x_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
$$\mathrm{\therefore\:F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
或者，它也可以寫成：
$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$
傅立葉變換的頻移特性
說明 – 傅立葉變換的頻移特性指出，用指數 $(e^{j \omega_{0} t })$ 乘以時域訊號 $x(t)$ 會導致頻譜移動 $\omega_{0}$。因此，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那麼，根據頻移特性，
$$\mathrm{e^{j \omega_{0} t }\:x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})}$$
證明
根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[e^{j \omega_{0} t} x(t)]=\int_{−\infty}^{\infty} e^{j \omega_{0} t} x(t)e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j(\omega - \omega_{0})t}dt=X(\omega-\omega_{0})}$$
$$\mathrm{\therefore\:F[e^{j \omega_{0} t}x(t)]=X(\omega-\omega_{0})}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{e^{-j \omega_{0} t}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega+\omega_{0})}$$
同樣地，
$$\mathrm{e^{j \omega_{0} t}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})}$$
數值例子
利用傅立葉變換的線性性和頻移特性，求 $[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]$ 的傅立葉變換。
解答
已知：
$$\mathrm{x(t)=cos\:\omega_{0} t\:u(t)}$$
利用尤拉公式，我們可以寫成：
$$\mathrm{cos\:\omega_{0} t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \right ]}$$
$$\mathrm{\therefore\:x(t)=cos\:\omega_{0} t\:u(t)=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}.u(t) \right ]}$$
現在，$x(t)$ 的傅立葉變換是：
$$\mathrm{F[x(t)]=F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=F\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}.u(t) \right ]}$$
利用線性特性 $[i.e., ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)]$，我們得到：
$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\frac{1}{2}F[e^{j \omega_{0} t}u(t)]+\frac{1}{2}F[e^{-j \omega_{0} t}u(t)]}$$
現在，利用傅立葉變換的頻移特性 $[i.e.,e^{j\omega_{0} t }x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega - \omega_{0})]$，我們得到：
$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\frac{1}{2}\{ F[u(t)]\}_{\omega=(\omega-\omega_{0})}+\frac{1}{2}\{ F[u(t)]\}_{\omega=(\omega + \omega_{0})}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\frac{1}{2} \left [\{ \pi\delta(\omega-\omega_{0})+\frac{1}{j(\omega-\omega_{0})} \} +\{ \pi\delta(\omega+\omega_{0})+\frac{1}{j(\omega+\omega_{0})} \} \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\frac{\pi}{2}\delta (\omega-\omega_{0}) + \frac{\pi}{2}\delta (\omega + \omega_{0}) + \frac{j\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}}$$
因此，給定訊號的傅立葉變換為：
$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0} t\:u(t)]=\left [\frac{\pi}{2}\delta (\omega-\omega_{0}) + \frac{\pi}{2}\delta (\omega + \omega_{0}) + \frac{j\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right ]}$$
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