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法學訊號與系統 – 傅立葉變換的時間反轉特性
對於連續時間函式𝑥(𝑡)，其傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$
傅立葉變換的時間反轉特性
說明 – 傅立葉變換的時間反轉特性指出，如果一個函式𝑥(𝑡)在時域中反轉，則其頻域中的頻譜也會反轉，即如果
$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( \omega \right )}$$
那麼，根據傅立葉變換的時間反轉特性，
$$\mathrm{x\left ( -t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( -\omega \right )}$$
證明
根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]= X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( -t \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( -t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$
在上式右邊用(−𝑡)替換𝑡，我們得到：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( -t \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{j\omega t}\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ x\left ( -t \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\left ( -\omega \right ) t}\: dt=X\left ( -\omega \right )}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( -t \right ) \right ]=X\left ( -\omega \right )}$$
或者，它可以表示為：
$$\mathrm{x\left ( -t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( -\omega \right )}$$
數值示例
利用傅立葉變換的時間反轉特性，求函式[𝑢(−𝑡)]的傅立葉變換。
解答
𝑥(𝑡) = 𝑢(−𝑡)
單位階躍函式的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{F\left [ u\left (t \right ) \right ]=\pi \delta \left ( \omega \right )+\frac{1}{j\omega }}$$
現在，利用傅立葉變換的時間反轉特性$\mathrm{\left [ i.e.\: \: \: x\left ( -t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( -\omega \right ) \right ]}$，我們得到：
$$\mathrm{F\left [ u\left (-t \right ) \right ]=\left \{ F\left [ u\left ( t \right ) \right ] \right \}_{\omega =\left ( -\omega \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ u\left (-t \right ) \right ]= \left ( \pi \delta \left ( \omega \right )+\frac{1}{j\omega } \right )_{\omega =\left ( -\omega \right )}=\pi \delta \left ( -\omega \right )-\frac{1}{j\omega }}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ u\left (-t \right ) \right ]= \pi \delta \left ( \omega \right )-\frac{1}{j\omega }}$$
或者，
$$\mathrm{u\left ( -t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\left [ \pi \delta \left ( \omega \right )-\frac{1}{j\omega } \right ]}$$
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