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法學訊號與系統 – 連續時間傅立葉級數的性質
週期訊號的傅立葉級數表示具有各種重要的性質，這些性質在將訊號從一種形式轉換為另一種形式的過程中非常有用。
考慮兩個週期為T的週期訊號𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)，其傅立葉級數係數分別為𝐶𝑛和𝐷𝑛。基於此假設，讓我們繼續檢查連續時間傅立葉級數的各種性質。
線性性質
連續時間傅立葉級數的線性性質指出，如果
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\: and\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$
時移性質
傅立葉級數的時移性質指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}}$$
時間尺度變換性質
傅立葉級數的時移性質指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{x(at)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:with\:\omega_{0}\rightarrow a\omega_{0}}$$
時間反轉性質
傅立葉級數的時間反轉性質指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{x(-t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}}$$
時間微分性質
連續時間傅立葉級數的時間微分性質指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FS}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}t_{0}C_{n}}$$
時間積分性質
連續時間傅立葉級數的時間積分性質指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:C_{0}=0}$$
卷積性質
連續時間傅立葉級數的卷積定理或卷積性質指出：“時域中兩個函式的卷積等效於頻域中其傅立葉係數的乘積。” 因此，如果：
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:and\:\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{x_{1}(t)*x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_{n}D_{n}}$$
乘法或調製性質
連續時間傅立葉級數的乘法或調製性質指出，如果
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:and\:\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{x_{1}(t).x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_{k}D_{n-k}}$$
共軛性質
連續時間傅立葉級數的共軛性質指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{x^*(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:(for\:example\:x(t))}$$
共軛對稱性
根據共軛對稱性，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼
$$\mathrm{C_{-n}=C_{n}^{*}\:(for\:real\:x(t))}$$
帕塞瓦爾定理
傅立葉級數的帕塞瓦爾定理指出，如果
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:and\:\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}\:\:\:\:[for\:complex\:x_{1}(t)\& \: x_{2}(t)]}$$
那麼
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)x_{2}^{*}(t)(dt)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_nD_{n}^{*}\:\:\:\:[for\:complex\:x_{1}(t)\& \: x_{2}(t)]}$$
並且，如果
$$\mathrm{x_{1}(t)=x_{2}(t)=x(t)}$$
那麼，*帕塞瓦爾恆等式*指出：
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^2dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|C_{n}|^2}$$
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