訊號與系統 – 復指數傅立葉級數

指數傅立葉級數

週期訊號在一定時間間隔內表示為正交函式的線性組合。如果這些正交函式是指數函式，則該函式的傅立葉級數表示稱為指數傅立葉級數。

指數傅立葉級數是傅立葉級數中最廣泛使用的形式。在這種表示中，週期函式x(t)表示為復指數函式的加權和。復指數傅立葉級數是傅立葉級數的簡便且緊湊的形式，因此在通訊理論中得到了廣泛的應用。

解釋

設一組復指數函式為：

$$\mathrm{\left \{e^{jn\omega_{0}t},n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,....\right \}}$$

這組指數函式在任何𝑡₀值的時間間隔[𝑡₀, (𝑡₀ + 𝑇)]上構成一個閉合正交集。因此，它可以用作傅立葉級數。這裡，引數T是函式的週期，由下式給出：

$$\mathrm{T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}}$$

週期函式的餘弦傅立葉級數定義為：

$$\mathrm{x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega_{0}t+\theta_n)\:\:\:\:....(1)}$$

現在，利用尤拉公式，我們可以寫成：

$$\mathrm{A_n\cos(n\omega_{0}t+\theta_n)=A_n[\frac{e^{j(n\omega_{0}t+\theta_n)}+e^{-j(n\omega_{0}t+\theta_n)}}{2}]\:\:\:\:.....(2)}$$

由公式(1)和(2)，我們得到：

$$\mathrm{x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n[\frac{e^{j(n\omega_0t+\theta_n)}+e^{-j(n\omega_0t+\theta_n})}{2}] }$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)= A_0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A_n}{2}[e^{jn \omega_0t}e^{j\theta_n}+e^{-jn \omega_0t}e^{-j\theta_n}]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{jn \omega_0t}e^{j\theta_n}]+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{-jn \omega_0t}e^{-j\theta_n}]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}]e^{jn\omega_0t} + \sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{-j\theta_n}]e^{-jn\omega_0t}\:\:\:\:\:......(3)}$$

現在，在公式(3)的第二個求和項中用(−𝑚)替換𝑛，我們得到：

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}]e^{jn\omega_0t} + \sum_{m=-1}^{-\infty}[\frac{A_m}{2}e^{j\theta_m}]e^{jm\omega_0t}\:\:\:\:........(4)}$$

比較公式(3)和(4)，我們有

$$\mathrm{A_n=A_m\:and\:(-\theta_n)=\theta_m\:for\:n>0\: \&\:k<0}$$

現在，讓我們定義指數傅立葉係數為：

$$\mathrm{C_0=A_0\:and\:C_n=\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}\:for\:n> 0}$$

因此，公式(4)可以寫成：

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}]e^{jn\omega_0t} + \sum_{n=-1}^{-\infty}[\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}]e^{jn\omega_0t}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:.....(5)}$$

公式(5)中的表示式稱為傅立葉級數的指數形式。它也稱為合成方程。

Manish Kumar Saini

更新於: 2021-12-06

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