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法學單位衝激函式、常數幅度和復指數函式的傅立葉變換
傅立葉變換
連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
單位衝激函式的傅立葉變換
單位衝激函式定義為：
$$\mathrm{\delta(t)=\begin{cases}1 & t=0 \\ 0 & t ≠ 0 \end{cases}}$$
如果已知
$$\mathrm{x(t)=\delta(t)}$$
則根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j\omega t}dt}$$
由於衝激函式僅在t=0時存在。因此，
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}\delta(t) e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}1\cdot e^{-j\omega t}dt=e^{-j\omega t}|_{t=0}=1}$$
$$\mathrm{\therefore\:F[\delta(t)]=1\:\:或\:\:\delta(t) \overset{FT}{\leftrightarrow}1}$$
也就是說，*單位衝激函式的傅立葉變換為1*。
單位衝激函式的傅立葉變換的幅度和相位表示如下：
$$\mathrm{幅度,|X(\omega)|=1;\:\:對所有\:\omega}$$
$$\mathrm{相位,\angle X(\omega)=0;\:\:對所有\:\omega}$$
衝激函式及其幅度和相位譜的圖形表示如圖所示。（此處應插入圖片）
常數幅度的傅立葉變換
如果函式給出為
$$\mathrm{x(t)=1}$$
則函式$X(t)$為常數函式，它不是絕對可積的，因此不能直接求其傅立葉變換。因此，$X(t)=1$的傅立葉變換是通過沖激函式$[\delta(\omega)]$的反傅立葉變換確定的。
根據反傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$
令
$$\mathrm{X(\omega)=\delta(\omega)}$$
其中，
$$\mathrm{\delta(\omega)=\begin{cases}1 & \omega=0 \\ 0 & \omega ≠ 0\end{cases}}$$
$$\mathrm{\therefore\:x(t)=F^{-1}[X(\omega)]=F^{-1}[\delta(\omega)]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}\delta(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\cdot(1)=\frac{1}{2\pi}}$$
$$\mathrm{\therefore\:F^{-1}[\delta(\omega)]=\frac{1}{2\pi}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F^{-1}[2\pi\delta(\omega)]=1}$$
因此，常數函式的傅立葉變換為：
$$\mathrm{F[1]=2\pi\delta(\omega)\:或\:\:1\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi\delta(\omega)}$$
當常數函式的幅度為A時，該函式的傅立葉變換變為
$$\mathrm{A\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi A\delta(\omega)}$$
復指數函式的傅立葉變換
將復指數函式視為：
$$\mathrm{x(t)=e^{j\omega_{0}t}}$$
不能直接求出復指數函式的傅立葉變換。為了求出復指數函式$x(t)$的傅立葉變換，考慮求頻域中移位衝激函式$[\delta(\omega-\omega_{0})]$的反傅立葉變換。
令
$$\mathrm{X(\omega)=\delta(\omega-\omega_{0})}$$
然後，根據反傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d{\omega}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=F^{-1}[X(\omega)]=F^{-1}[\delta(\omega-\omega_{0})]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_{0})e^{j\omega t}d{\omega}=\frac{1}{2\pi}e^{j\omega_{0} t}}$$
因此，$\delta(\omega-\omega_{0})$的反傅立葉變換為：
$$\mathrm{F^{-1}[\delta(\omega-\omega_{0})]=\frac{1}{2\pi}e^{j\omega_{0} t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F^{-1}[2\pi\delta(\omega-\omega_{0})]=e^{j\omega_{0} t}}$$
因此，*復指數函式的傅立葉變換由下式給出：*
$$\mathrm{[e^{j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega-\omega_{0})}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{e^{j\omega_{0} t}\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi\delta(\omega-\omega_{0})}$$
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