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法學從傅立葉級數推導傅立葉變換
傅立葉級數
考慮一個週期訊號𝑔(𝑡)，其週期為T，則函式𝑔(𝑡)的傅立葉級數定義為：
$$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:....(1)}$$
其中，𝐶𝑛是傅立葉級數係數，由下式給出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:\:....(2)}$$
從傅立葉級數推導傅立葉變換
設𝑥(𝑡)為非週期訊號，且𝑥(𝑡)和𝑔(𝑡)之間的關係由下式給出：
$$\mathrm{X(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)\:\:\:\:.....(3)}$$
其中，T是週期訊號𝑔(𝑡)的週期。
重新排列等式(2)，得到：
$$\mathrm{TC_n=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt}$$
項𝐶𝑛表示頻率nω0的分量的幅度。
令nω0 = ω，當𝑇 → ∞時，我們有：
$$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{t}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$$
因此，離散傅立葉頻譜變為連續的，因此求和變為積分，且[𝑔(𝑡) → 𝑥(𝑡)]。因此，當𝑇 → ∞時，
$$\mathrm{TC_n=\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow TC_n=\int_{-\infty}^{\infty}[\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)]e^{-j\omega t}dt\:\:\:\:.....(4)}$$
根據等式(3)和(4)，我們有：
$$\mathrm{\Rightarrow TC_n=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=X(\omega)\:\:\:\:....(5)}$$
因此，非週期訊號的傅立葉變換為
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\:\:\:\:....(6)}$$
函式X(ω)表示函式𝑥(𝑡)的頻譜，稱為頻譜密度函式。
傅立葉逆變換
週期函式𝑔(𝑡)的傅立葉級數定義為：
$$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{jn\omega_0 t}}$$
$$\mathrm{\because C_n=\frac{TC_n}{T}=\frac{X(\omega)}{T}\:\:\:[from\:eq.(5)]}$$
$$\mathrm{\therefore g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{X(\omega)}{T}e^{jn\omega_0 t}}$$
$$\mathrm{\because n\omega_0=\omega\:and\:T=\frac{2\pi}{\omega_0}}$$
$$\mathrm{\therefore g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{X(\omega)}{(2\pi/\omega_0)}e^{jn\omega_0t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{X(\omega)}{2\pi}e^{jn\omega_0t}\omega_0\:\:\:....(7)}$$
因此，根據等式(3)和(7)，我們有
$$\mathrm{x(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{jn\omega_0t}\omega_0\:\:\:....(8)}$$
當𝑇 → ∞時，我們有：
$$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{T}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$$
因此，𝜔0可以用𝑑𝜔表示，求和變為積分。因此，等式(8)可以寫成：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\:\:\:....(9)}$$
這裡，𝑥(𝑡)稱為X(ω)的傅立葉逆變換。
等式(6)中X(ω)的表示式和等式(9)中𝑥(𝑡)的表示式稱為傅立葉變換對，可以表示為：
$$\mathrm{X(\omega)=F[x(t)]}$$
$$\mathrm{}$$
以及
$$\mathrm{x(t)=F^{-1}[X(\omega)]}$$
傅立葉變換對也可以表示為
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
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