拉普拉斯變換和傅立葉變換的區別

在工程分析中，複雜的數學建模物理系統透過使用**積分變換**轉換為更簡單、可求解的模型。模型求解後，使用逆積分變換以原始形式提供解。

兩種最常用的積分變換是 – **拉普拉斯變換** 和 **傅立葉變換**。在這兩種變換中，用微分方程表示的物理系統被轉換為代數方程或更容易求解的低階微分方程。因此，拉普拉斯變換和傅立葉變換使問題更容易解決。

在本文中，我們將學習**拉普拉斯變換和傅立葉變換之間的重要區別**。讓我們從一些基礎知識開始，以便更容易理解它們之間的區別。

什麼是拉普拉斯變換？

**拉普拉斯變換**是一種數學工具，用於將表示線性時不變系統的時間域微分方程轉換為頻域的代數方程。

從數學上講，時間域函式 $\mathrm{x\:(\:t\:)}$ 的拉普拉斯變換定義為 –

$$\mathrm{L\:[x\:(t)]\:=\:X\:(s)\:=\:\int_{-\:\infty}^{\infty}\:x\:(t)\:e^{-st}\:dt}$$

其中，s 是一個復變數，由下式給出：

$$\mathrm{s\:=\:\sigma\:+\:j\:\omega}$$

運算元 L 稱為拉普拉斯變換運算元，它將時間域函式 $\mathrm{x\:(\:t\:)}$ 轉換為頻域函式 $\mathrm{X\:(\:s\:)}$。

**傅立葉變換**是一種變換技術，它將訊號從連續時間域轉換為相應的頻域，反之亦然。從數學上講，連續時間訊號 $\mathrm{x\:(\:t\:)}$ 的傅立葉變換定義為 –

$$\mathrm{F\:[x\:(t)]\:=\:X\:(\omega)\:=\:\int_{-\:\infty}^{\infty}\:x\:(t)\:e^{-j\:\omega\:t}\:dt}$$

因此，傅立葉變換用於分析頻域中的函式。但是，傅立葉變換僅針對所有實數定義的函式定義。此外，它不能用於分析不穩定的系統。

下表重點介紹了拉普拉斯變換和傅立葉變換之間的主要區別 –

拉普拉斯變換	傅立葉變換
函式 x(t) 的拉普拉斯變換可以表示為形式為 e^st 的復指數衰減波的連續和。	函式 x(t) 的傅立葉變換可以表示為形式為 e^jωt 的指數函式的連續和。
拉普拉斯變換用於求解描述系統輸入和輸出的微分方程。	傅立葉變換也用於求解描述系統輸入和輸出的微分方程。
拉普拉斯變換可用於分析不穩定系統。	傅立葉變換不能用於分析不穩定系統。
拉普拉斯變換不需要函式針對一組負實數定義。	傅立葉變換僅針對所有實數定義的函式定義。
每個具有傅立葉變換的函式都存在拉普拉斯變換。	另一方面，並非每個具有拉普拉斯變換的函式都具有傅立葉變換。
拉普拉斯變換被廣泛用於求解微分方程，因為即使對於傅立葉變換不存在的訊號，拉普拉斯變換也存在。	傅立葉變換很少用於求解微分方程，因為對於許多訊號，傅立葉變換不存在。例如 \|x(t)\|，因為它不是絕對可積的。
拉普拉斯變換具有收斂因子，因此它更通用。	傅立葉變換沒有任何收斂因子。
訊號 x(t) 的拉普拉斯變換等效於訊號 x(t)e^-σt 的傅立葉變換。	傅立葉變換等效於沿 s 平面虛軸計算的拉普拉斯變換。

拉普拉斯變換和傅立葉變換之間最顯著的區別在於，拉普拉斯變換將時間域函式轉換為 s 域函式，而傅立葉變換將時間域函式轉換為頻域函式。此外，傅立葉變換僅針對所有實數定義的函式定義，但拉普拉斯變換不需要函式針對一組負實數定義。

Kiran Kumar Panigrahi

更新於： 2023-11-07

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