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法學傅立葉級數和傅立葉變換的區別
傅立葉級數是傅立葉分析中用於週期訊號的一個分支。傅立葉級數將週期訊號分解成不同幅度和頻率的正弦和餘弦函式之和。傅立葉級數是由法國數學家約瑟夫·傅立葉提出的。另一方面，傅立葉變換是一種數學運算，它將訊號分解成其組成頻率。傅立葉變換也稱為訊號的頻域表示，因為它取決於訊號的頻率。
閱讀本文，瞭解更多關於傅立葉級數和傅立葉變換的資訊，以及它們彼此之間的區別。
什麼是傅立葉級數？
將週期訊號分解成正弦和餘弦函式之和的數學方法稱為傅立葉級數。傅立葉級數利用正弦和餘弦函式之間的正交關係。傅立葉級數允許我們將週期函式分解成簡單的項之和，這些項可用於獲得給定問題的解。
傅立葉級數最初是為了求解熱方程而開發的，但目前它在許多領域都有應用，包括電子學、電氣工程、訊號處理、量子力學、影像處理等。傅立葉級數的研究稱為諧波分析，廣泛用於分析週期函式。
關於傅立葉級數的重要說明
連續時間週期訊號的傅立葉級數的指數形式由下式給出：
係數集 [Cn] 稱為傅立葉級數係數集或訊號 x(t) 的頻譜系數。
復係數 [Cn] 測量訊號中每個基波諧波的比例。
係數 [Co] 是函式的直流分量，它是訊號在一個週期內的平均值，即：
函式的傅立葉級數係數本質上是離散的，因此我們得到一個離散頻譜。
什麼是傅立葉變換？
傅立葉變換是一種數學運算，它定義了訊號的時域表示與其頻域表示之間的關係。它將訊號或函式分解成振盪函式。在傅立葉變換中，我們可以從其變換中獲得原始訊號，因此在變換過程中不會丟失或產生資訊。
傅立葉變換廣泛用於求解微分方程。傅立葉變換具有一些數學特性，例如線性、縮放、對偶性、卷積、調製、共軛等。它用於核磁共振和其他型別的波譜學。
關於傅立葉變換的重要說明
連續時間非週期訊號的傅立葉變換定義為：
傅立葉逆變換定義為：
x(t) 和 X(ω) 構成傅立葉變換對，表示為：
傅立葉逆變換方程 [即，] 對非週期訊號的作用類似於傅立葉級數方程 [即，] 對週期訊號的作用。因為這兩個方程都表示復指數的線性組合。
對於週期訊號，頻譜系數具有幅度 Cn，並出現在一組離散的諧波相關頻率 (nω0) 處，其中 (n = 0, ±1, ±2...)。這些幅度由下式給出：
對於非週期訊號，復指數出現在具有幅度 [X(ω)dω/2π] 的連續頻率處。
非週期訊號的傅立葉變換稱為訊號的頻譜。
傅立葉級數和傅立葉變換的區別
下表重點介紹了傅立葉級數和傅立葉變換之間的重要區別：
| 特徵 | 傅立葉級數 | 傅立葉變換 |
|---|---|---|
| 定義 | 傅立葉級數是一種將週期訊號分解成正弦和餘弦項之和的技術。 | 傅立葉變換是將訊號從時域轉換為頻域的數學運算。 |
| 訊號型別 | 傅立葉級數只能應用於週期訊號。 | 傅立葉變換可以應用於週期訊號和非週期訊號。 |
| 用途 | 傅立葉級數用於任意週期函式的諧波分析。 | 傅立葉變換用於求解微分方程。 |
| 應用 | 傅立葉級數的應用包括電氣工程、電子學、訊號處理、量子力學等。 | 傅立葉變換的應用包括核磁共振和其他型別的波譜學。 |
結論
傅立葉級數和傅立葉變換的概念在訊號與系統研究中非常有用。傅立葉變換是傅立葉級數的推廣，因為它使傅立葉級數能夠擴充套件到非週期函式。
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