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法律研究三角傅立葉級數 - 定義和解釋
週期訊號可以在一定時間間隔內表示為正交函式的線性組合，如果這些正交函式是三角函式，則傅立葉級數表示稱為三角傅立葉級數。
解釋
考慮一個正弦訊號 $x(t)=A\:sin\:\omega_{0}t$，它以時間週期 $T$ 為週期，使得 $T=2\pi/ \omega_{0}$。如果兩個正弦波的頻率是基頻 $(\omega_{0})$ 的整數倍，則這兩個正弦波的和也是週期性的。
我們可以證明，一個訊號 $x(t)$，它是頻率為基頻 $(\omega_{0})$ 的整數倍的正弦和餘弦函式的和，是一個週期訊號。
假設訊號 $x(t)$ 由下式給出：
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+a_{1}\:cos\:\omega_{0}t+a_{2}\:cos\:2\omega_{0}t+a_{3}\:cos\:3\omega_{0}t+....+a_{k}\:cos\:k\omega_{0}t}$$
$$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+b_{1}\:sin\:\omega_{0}t+b_{2}\:sin\:2\omega_{0}t+b_{3}\:sin\:3\omega_{0}t+...+b_{k}\:sin\:k\omega_{0}t}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{k}a_{n}\:cos\:n\omega_{0}t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0}t… (1)}$$
其中，$a_{0},a_{1},a_{2}....a_{k}$ 和 $b_{0},b_{1},b_{2}....b_{k}$ 是常數，$\omega_{0}$ 是基頻。
同樣，如果一個訊號 $x(t)$ 是一個週期訊號，則它必須滿足以下條件：
$$\mathrm{x(t)=x(t+T);\:\:對於所有\:t}$$
因此，
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t+T)=a_{0}+\sum_{n=1}^{k}a_{n}\:cos\:n\omega_{0}(t+T)+b_{n}\:sin\:n\omega_{0}(t+T)}$$
$$\mathrm{\because\:週期,T=\left ( \frac{2\pi}{\omega_{0}}\right )}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t+T)=a_{0}+\sum_{n=1}^{k}a_{n}\:cos\:n\omega_{0}(t+\frac{2\pi}{\omega_{0}})+b_{n}\:sin\:n\omega_{0}(t+\frac{2\pi}{\omega_{0}})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t+T)=a_{0}+\sum_{n=1}^{k}a_{n}\:cos(n\omega_{0} t+2n\pi)+b_{n}\:sin(n\omega_{0} t+2n\pi)}$$
$$\mathrm{\because\:cos(2n\pi+\theta )=cos\:\theta \:\:和\:\:sin(2n\pi+\theta )=sin\:\theta}$$
使用這些三角恆等式，我們得到：
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t+T)=a_{0}+\sum_{n=1}^{k}a_{n}\:cos(n\omega_{0} t)+b_{n}\:sin(n\omega_{0} t)=x(t)… (2)}$$
從公式 (2) 可以清楚地看出，訊號 $x(t)$ 是頻率為 0、$\omega_{0}、2\omega_{0}、...k\omega_{0}$ 的正弦和餘弦函式的和，是一個週期為 T 的週期訊號。如果在 $x(t)$ 的表示式中，$k\rightarrow \infty$，那麼我們可以得到任何週期訊號 $x(t)$ 的傅立葉級數表示。
因此，任何週期訊號都可以表示為正弦和餘弦函式的無限和，這些函式本身是角頻率為 0、$\omega_{0}、2\omega_{0}、...k\omega_{0}$ 的週期訊號。這組諧波相關的正弦和餘弦函式在時間間隔 $t$ 到 $(t+T)$ 上形成一組完整的正交函式。
因此，傅立葉級數的三角形式可以定義如下：
頻率為 0、$\omega_{0}、2\omega_{0}、...k\omega_{0}$ 的正弦和餘弦項的無限級數稱為傅立葉級數的三角形式，可以表示為：
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\: n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (3)}$$
其中，$a_{0}、a_{n}$ 和 $b_{n}$ 稱為三角傅立葉級數係數。
$$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt… (4)}$$
$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:n\omega_{0}t\:dt… (5)}$$
$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:n\omega_{0}t\:dt… (6)}$$
這裡，
係數 $a_{0}$ 稱為直流分量。
$(a_{1}\:cos\:\omega_{0}t+b_{1}\:sin\:\omega_{0}t)$ 稱為基波分量。
$(a_{2}\:cos\:\omega_{0}t+b_{2}\:sin\:2\omega_{0}t)$稱為二次諧波分量。
類似地，$(a_{n}\:cos\:n\omega_{0}t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0}t)$ 稱為n次諧波分量。
數值示例
求下圖所示波形的三角傅立葉級數。
解答
我們可以看到，給定的波形是週期為 $T= 2\pi$ 的週期訊號。
在數學上，給定的波形可以描述為：
$$\mathrm{x(t)=\begin{cases}(\frac{A}{\pi})t & for\:0 ≤ t ≤\:\pi\0 & for\:\pi≤ t ≤2\pi\end{cases}}$$
令，
$$\mathrm{t_{0}=0\:\:和\:\:(t_{0}+T)= 2\pi}$$
然後，給定函式的基頻為：
$$\mathrm{\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1}$$
因此，係數 $a_{0}$ 由下式給出：
$$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:a_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}x(t)\:dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}(\frac{A}{\pi})t\:dt+\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}0\:dt=\frac{A}{2\pi^{2}}\left [ \frac{t^{2}}{2}\right ]_{0}^{\pi}=\frac{A}{4}}$$
係數 $a_{n}$ 由下式給出：
$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)cos\:n\omega_{0}t\:\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:a_{n}=\frac{2}{2\pi} \int_{0}^{\pi}(\frac{A}{\pi})t\:cos\:nt\:dt=\frac{A}{\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}t\:cos\:nt\:dt}$$
透過求解上述積分，我們得到：
$$\mathrm{\Rightarrow\:a_{n}=\frac{A}{\pi^{2}n^{2}}[cos\:n\pi]}$$
$$\mathrm{\therefore\:a_{n}=\begin{cases}-(\frac{2A}{\pi^{2}n^{2}}) & for\:n為奇數\0 & for\:n為偶數\end{cases}}$$
類似地，係數 $b_{n}$ 由下式給出：
$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)sin\:n\omega_{0}t\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:b_{n}=\frac{2}{2\pi}\int_{0}^{\pi}(\frac{A}{\pi})t\:sin\:nt\:dt=\frac{A}{\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}t\:sin\:nt\:dt}$$
求解此積分，我們有：
$$\mathrm{b_{n}=\frac{A}{\pi^{2}}\left [-\frac{\pi\:cos\:n\pi}{n} +\left (\frac{sin\:nt}{n^{2}} \right )_{0}^{\pi} \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:b_{n}=-\frac{A}{n\pi}cos\:n\pi=\frac{A}{n\pi}(-1)^{n+1}}$$
$$\mathrm{\therefore\:b_{n}=\begin{cases}(\frac{A}{n\pi}) & for\:n為奇數\(-\frac{A}{n\pi}) & for\:n為偶數\end{cases}}$$
因此，三角傅立葉級數為：
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\:\omega_{0}t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0}t}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=\frac{A}{4}-\frac{2A}{\pi^{2}}\sum_{n=奇數}^{\infty}\frac{cos\:nt}{n^{2}}+\frac{A}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot \frac{sin\:nt}{n}}$$
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