三角傅立葉級數係數表示式

頻率為$0,\omega_{0},2\omega_{0},3\omega_{0},....k\omega_{0}$的正弦和餘弦項的無窮級數稱為三角傅立葉級數，可以寫成：

$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (1)}$$

這裡，常數$a_{0},a_{n}$和$b_{n}$稱為三角傅立葉級數係數。

a₀的計算

為了計算係數$a_{0}$，我們將對公式(1)的兩邊在一個週期內積分，即：

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}dt+\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t\right)dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt… (2)}$$

我們知道，對於任何非零整數n和任何時間$t_{0}$，正弦曲線在一個完整週期內的淨面積為零。因此，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt=0\:\:and\:\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt=0}$$

因此，從公式(2)中，我們得到：

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T}$$

$$\mathrm{\therefore\:a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt… (3)}$$

使用公式(3)，我們可以得到傅立葉係數$a_{0}$的值。

a_n的計算

為了計算傅立葉係數$a_{n}$，將公式(1)的兩邊乘以$cos\:m\omega_{0}t\:dt$，然後在一個週期內積分，即：

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:m\omega_{0}t\:dt}$$

$$\mathrm{=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:m\omega_{0}t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos(n\omega_{0} t)\:cos(m\omega_{0} t)dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin(n\omega_{0} t)\:cos(m\omega_{0} t)dt… (4)}$$

當m = n時，公式(4)中的第一項和第三項積分等於零，第二項積分等於$\left(\frac{T}{2} \right)$。因此，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:m\omega_{0} t\:dt=a_{m}\left(\frac{T}{2} \right)}$$

因為m = n，

$$\mathrm{\therefore\:a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:n\omega_{0} t\:dt… (5)}$$

b_n的計算

為了計算傅立葉係數$b_{n}$，將公式(1)的兩邊乘以$sin\:m\omega_{0} t$，然後在一個週期內積分，即：

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:m\omega_{0}t\:dt}$$

$$\mathrm{=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:m\omega_{0}t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos(n\omega_{0} t)\:sin(m\omega_{0} t)dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin(n\omega_{0} t)\:sin(m\omega_{0} t)dt… (6)}$$

當m = n時，公式(6)中的第一項和第二項積分等於零，第三項積分等於$\left(\frac{T}{2} \right)$。因此，

$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:m\omega_{0} t\:dt=b_{m}\left(\frac{T}{2}\right)}$$

因為m = n，

$$\mathrm{\therefore\:b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:n\omega_{0} t\:dt… (7)}$$

Saini Manish Kumar

更新於：2021年12月8日

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