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法律研究三角函式與指數傅立葉級數的關係
三角傅立葉級數
週期函式可以在一定的時間間隔內表示為正交函式的線性組合。如果這些正交函式是三角函式，則稱為**三角傅立葉級數**。
數學上，週期訊號的標準三角傅立葉級數展開式為：
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt\:\:… (1)}$$
指數傅立葉級數
週期函式可以在一定的時間間隔內表示為正交函式的線性組合，如果這些正交函式是指數函式，則稱為**指數傅立葉級數**。
數學上，週期函式的標準指數傅立葉級數展開式為：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}\:\:… (2)}$$
從指數傅立葉級數匯出三角傅立葉級數
週期函式 $x(t)$ 的指數傅立葉級數由下式給出：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=−\infty}^{-1}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}+\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}(C_{-n}e^{-jn\omega_{0} t}+C_{n}e^{jn\omega_{0} t})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[C_{-n}(cos\:n\omega_{0}t-j\:sin\:n\omega_{0}t)+C_{n}(cos\:n\omega_{0}t + j\:sin\:n\omega_{0}t)]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[(C_{n}+C_{-n})cos\:n\omega_{0}t+j(C_{n}-C_{-n})sin\:n\omega_{0}t]\:\:… (3)}$$
現在，將公式 (3) 與公式 (1) 中給出的標準三角傅立葉級數進行比較，得到三角傅立葉級數的係數如下：
$$\mathrm{a_{0}=C_{0}}$$
$$\mathrm{a_{n}=C_{n}+C_{-n}}$$
$$\mathrm{b_{n}=j(C_{n}+C_{-n})}$$
透過計算這些三角係數，我們可以寫出週期函式的三角傅立葉級數展開式。
從三角傅立葉級數匯出指數傅立葉級數
指數傅立葉級數可以從三角傅立葉級數匯出，如下所示：
週期函式的三角傅立葉級數展開式由下式給出：
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt}$$
其中，三角傅立葉係數由下式給出：
$$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt\:\:… (4)}$$
$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\:cos\:n\omega_{0}t\:\:dt\:\:\:… (5)}$$
$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)sin\:n\omega_{0}t\:\:dt\:\:\:… (6)}$$
從指數傅立葉級數中，**指數傅立葉係數 $C_{n}$** 由下式給出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t) e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$
利用尤拉公式，我們得到：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t)(cos\:n\omega_{0} t - j\:sin\:n\omega_{0} t)dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:C_{n}=\frac{1}{T}\left ( \frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\:cos\:n\omega_{0} t\: dt-j\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\: sin \:n\omega_{0} t dt \right )… (7)}$$
將公式 (7) 與 (5) 和 (6) 進行比較，我們得到：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{2}[a_{n}-jb_{n}]\:… (8)}$$
類似地，**指數傅立葉係數** $C_{-n}$ 為：
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t) e^{jn\omega_{0} t}dt}$$
利用尤拉公式，我們得到：
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)(cos\:n\omega_{0}t+j\:sin\:n\omega_{0}t)\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:C_{-n}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)cos\:n\omega_{0}t\:dt + j\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x(t)\:sin\:n\omega_{0} t dt \right)\:\:… (9)}$$
將公式 (9) 與 (5) 和 (6) 進行比較，我們得到：
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{2}[a_{n}+jb_{n}]\:… (10)}$$
並且，**指數傅立葉係數** $C_{0}$ 為：
$$\mathrm{C_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)\:dt=a_{0}… (11)}$$
利用公式 (8)、(10) 和 (11)，我們可以從三角傅立葉係數獲得指數傅立葉係數的值，然後從三角傅立葉級數獲得指數傅立葉級數。
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