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法律研究單邊實指數函式的傅立葉變換
傅立葉變換
連續時間函式 $x(t)$ 的傅立葉變換可以定義為：
$$\mathrm{X(\omega)= \int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
單邊實指數函式的傅立葉變換
單邊實指數函式定義為：
$$\mathrm{x(t)=e^{-a t}u(t)}$$
其中，$u(t)$ 是單位階躍訊號，定義為：
$$\mathrm{u(t)=\begin{cases}1 & for\:t≥ 0 \0 & for\:t < 0 \end{cases}}$$
然後，根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-at}u(t)e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t} dt=\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)} \right]_{0}^{\infty}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{-(a+j\omega)}[e^{-\infty}-e^{0}]=\frac{0-1}{-(a+j\omega)}=\frac{1}{a+j\omega}}$$
因此，單邊實指數函式的傅立葉變換為：
$$\mathrm{F[e^{-at}u(t)]=\frac{1}{a+j\omega}}$$
或者，也可以表示為：
$$\mathrm{e^{-at}u(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{a+j\omega}}$$
單邊實指數函式的傅立葉變換的幅度和相位表示
單邊實指數函式的傅立葉變換由下式給出：
$$\mathrm{X(\omega)=\frac{1}{a+j\omega}}$$
乘以有理化因子，得到：
$$\mathrm{X(\omega)=\frac{a-j\omega}{(a+j\omega)(a-j\omega)}=\frac{a-j\omega}{a^{2}+\omega^{2}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{a}{a^{2}+\omega^{2}}-j\frac{\omega}{a^{2}+\omega^{2}}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+\omega^{2}}}\angle-tan^{-1}\left(\frac{\omega}{a}\right)}$$
因此，單邊指數函式的傅立葉級數的幅度和相位由下式給出：
$$\mathrm{幅度, |X(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+\omega^{2}}};\:\:for\:all\:\omega}$$
$$\mathrm{相位,\angle X(\omega)=-tan^{-1}\left(\frac{\omega}{a}\right);\:\:for\:all\:\omega}$$
圖中顯示了單邊或單邊實指數函式及其幅度和相位譜的圖形表示。
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