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法學傅立葉變換的調製特性
傅立葉變換
連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
傅立葉變換的調製特性
結論 – 連續時間傅立葉變換的調製特性指出，如果連續時間函式$x(t)$乘以$cos \:\omega_{0} t$，則其頻譜在頻率上向上和向下平移$\omega_{0}$。因此，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那麼，根據CTFT的調製特性，
$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$
證明
利用尤拉公式，我們得到：
$$\mathrm{cos\:\omega_{0}t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \right ]}$$
因此，
$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t=x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]}$$
現在，根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega_{0} t} \:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:cos\:\omega_{0} t\:e^{-j\omega_{0} t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\frac{1}{2}F[x(t)e^{j\omega_{0} t}]+\frac{1}{2}F[x(t)e^{-j\omega_{0} t}]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\frac{1}{2}X(\omega -\omega_{0})+\frac{1}{2}X(\omega + \omega_{0})}$$
因此，傅立葉變換為：
$$\mathrm{F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\frac{1}{2}[X(\omega -\omega_{0})+X(\omega + \omega_{0})]}$$
或者，也可以表示為：
$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0} t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega -\omega_{0})+X(\omega + \omega_{0})]}$$
類似地，當訊號x(t)乘以$sin \:\omega_{0}\:t$時，根據CTFT的調製特性，訊號的傅立葉變換由下式給出：
$$\mathrm{x(t)\:sin\:\omega_{0} t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2j}[X(\omega -\omega_{0})- X(\omega + \omega_{0})]}$$
數值例子
利用傅立葉變換的調製特性，求$[sin\:\omega_{0}\:t]$的傅立葉變換。
解答
已知：
$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0}\:t}$$
設$x(t)$乘以函式$x_{1}(t)$為：
$$\mathrm{x(t)=x_{1}(t)\cdot sin\:\omega_{0}\:t}$$
其中：
$$\mathrm{x_{1}(t)=1}$$
此外，常數幅值的傅立葉變換由下式給出：
$$\mathrm{F[x_{1}(t)]=F[1]=2\pi\delta(\omega)}$$
現在，利用調製特性，我們得到：
$$\mathrm{F[x(t)]=F[x_{1}(t)\:sin\:\omega_{0}\:t]=\frac{1}{2j}[X_{1}(\omega -\omega_{0})- X_{1}(\omega + \omega_{0})]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[(1)\cdot sin\:\omega_{0}\:t]=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(\omega - \omega_{0})-2\pi\delta(\omega + \omega_{0})]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[sin\:\omega_{0}t]=\frac{1}{j}[\pi\delta(\omega - \omega_{0})-\pi\delta(\omega + \omega_{0})]}$$
因此，所給函式的傅立葉變換為：
$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0}t]=j\pi[\delta(\omega + \omega_{0})-\delta(\omega - \omega_{0})]}$$
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