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法律研究連續時間傅立葉級數的乘法或調製特性
傅立葉級數
如果 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}\:\:… (1)}$$
其中，$C_{n}$ 是指數傅立葉級數係數，由下式給出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt\:\:… (2)}$$
調製或乘法特性
設 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 為兩個週期為 $T$ 的週期訊號，其傅立葉級數係數分別為 $C_{n}$ 和 $D_{n}$。如果
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$
則，連續時間傅立葉級數的調製或乘法特性指出：
$$\mathrm{x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}\:D_{n-k}}$$
證明
根據連續時間傅立葉級數的定義，我們得到：
$$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{jk\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{-j(n-k)\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} t}dt\:\:… (3)}$$
透過重新排列式 (3) 中積分和求和的順序，我們得到：
$$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k}\left ( \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x_{1}(t)e^{-j(n-k)\omega_{0} t}\:dt\right )=\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}D_{n-k}}$$
其中，
$$\mathrm{D_{n-k}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)e^{-j(n-k)\omega_{0} t}\:dt}$$
因此，
$$\mathrm{x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}D_{n-k}\:\:\:(證畢)}$$
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