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法律研究連續時間傅立葉變換 (CTFT) 的性質
傅立葉變換
連續時間函式 $x(t)$ 的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
逆傅立葉變換
連續時間函式的逆傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$
傅立葉變換的性質
連續時間傅立葉變換 (CTFT) 具有許多重要的性質。這些性質可用於推導傅立葉變換對，以及推匯出一般的頻域關係。這些性質還有助於找到各種時域運算對頻域的影響。連續時間傅立葉變換的一些重要性質如下表所示：
| CTFT 的性質 | 時域 x(t) | 頻域 X(ω) |
|---|---|---|
| 線性性質 | $ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$ | $aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)$ |
| 時移性質 | $x(t ± t_{0})$ | $e^{± j\omega t_{0}}X(\omega)$ |
| 頻移性質 | $ e^{± j\omega_{0} t}x(t)$ | $X(\omega ∓ \omega_{0})$ |
| 時間反轉性質 | x(-t) | $x(-\omega)$ |
| 時間尺度變換性質 | x(at) | $\frac{1}{|a|} X(\frac{\omega}{a})$ |
| 時間微分性質 | $\frac{d}{dt} x(t)$ | $j \omega X(\omega)$ |
| 頻率微分性質 | $t.x(t)$ | $j\frac{d}{d\omega}X(\omega)$ |
| 時間積分性質 | $\int_{−\infty}^{\infty} x(t) d τ$ | $\frac{X(\omega)}{j\omega}$ |
| 卷積性質 | $x_{1}(t)*x_{2}(t)$ | $X_{1}(\omega)X_{2}(\omega)$ |
| 乘法性質 | $x_{1}(t)x_{2}(t)$ | $\frac{1}{2\pi}[X_{1}(\omega)*X_{2}(\omega)]$ |
| 對偶或對稱性質 | X(t) | $2\pi x(-\omega)$ |
| 調製性質 | $x(t)\:cos\:\omega_{0}t$ | $\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]$ |
| $x(t)\:sin\:\omega_{0}t$ | $\frac{1}{2j}[X(\omega-\omega_{0})-X(\omega+\omega_{0})]$ | |
| 共軛性質 | x*(t) | $x*(-\omega)$ |
| 自相關性質 | R(τ) | $|X(-\omega)|^{2}$ |
| 帕斯瓦爾定理 | $\int_{−\infty}^{\infty} x_{1}(t)x_{2}^*(t)dt$ | $\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X_{1}(\omega)x_{2}^*(\omega)d\omega$ |
| 帕斯瓦爾恆等式 | $\int_{−\infty}^{\infty}|x(t)|^{2} dt$ | $\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}|X(\omega)|^{2}d\omega$ |
| 曲線下面積性質 | $\int_{−\infty}^{\infty}x(t)dt$ | $\frac{1}{2\pi}X(0)$ |
| x(0) | $\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)d\omega$ |
更新時間： 2021年12月3日
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