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法學訊號與系統 – 離散時間傅立葉變換的性質
離散時間傅立葉變換
離散時間傅立葉變換是一種數學工具，用於將離散時間序列轉換為頻域。因此，離散時間訊號或序列的傅立葉變換稱為離散時間傅立葉變換 (DTFT)。
數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一個離散時間序列，則該序列的離散時間傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j\omega n}}}$$
離散時間傅立葉變換的性質
下表列出了離散時間傅立葉變換的重要性質：
| 性質 | 離散時間序列 | DTFT |
|---|---|---|
| 符號 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ | |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ | |
| 線性性 | $\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ |
| 時移性 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{e}^{\mathit{-j\omega k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ |
| 頻移性 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j\omega} _{\mathrm{0}}\mathit{n}}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega -\omega _{\mathrm{0}}}\right)}}$ |
| 時間反轉 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{-n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}}$ |
| 頻域微分 | $\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ |
| 時域卷積 | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:*\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ |
| 頻域卷積（時域乘法） | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:*\:\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}}$ |
| 相關性 | $\mathrm{\mathit{R}_{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathit{x}_{\mathrm{2}}}\mathrm{\left(\mathit{l}\right )}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{-\omega }\right)}}$ |
| 調製特性 | $\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{cos}\mathit{\omega _{\mathrm{0}}\mathit{n}}}$ | $\mathrm{\frac{1}{2}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega \:\mathrm{+}\:}\omega _{\mathrm{0}}\right)}\:\mathrm{+}\: \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega \:\mathrm{-}\:}\omega _{\mathrm{0}}\right)} \right ]}}$ |
| 帕塞瓦爾定理 | $\mathrm{\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right|^{\mathrm{2}}}$ | $\mathrm{\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{d\omega}}$ |
| 共軛 | $\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}}$ |
| $\mathrm{\mathrm{\mathit{x}^{*}\mathrm{\left(\mathit{-n}\right)}}}$ | $\mathrm{\mathrm{\mathit{X}^{*}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}}$ | |
| 對稱性 | $\mathrm{\mathit{x}_{\mathit{R}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathit{e}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ |
| $\mathrm{\mathit{j}\:\mathit{x}_{\mathit{I}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{0}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ | |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathit{e}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{X}_{\mathit{R}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$ | |
| $\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{0}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$ | $\mathrm{\mathit{j}\:\mathit{X}_{\mathit{I}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ |
更新於：2022年1月11日
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